Serie con parametro

Messaggioda Salvy » 22/01/2019, 13:56

Salve ragazzi non riesco a svolgere questo esercizio:
$ sum^(n = oo) sqrt((2n)!)/n^(np) $
Devo trovare il parametro affinché la serie converge.
Applico il criterio del confronto asintotico e la formula di stirling e mi riconduco a questa forma :
$ a(n)= sqrt(2n^((1+4n)/2)e^(-2n))/(n^(np))~ n^n/(e^n(n^p)^n )= (n/(en^(p-1)))^n $

A questo punto non so continuare, anche perché non sono riuscito a ricondurmi al termine generale di una serie notevole
Salvy
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Re: Serie con parametro

Messaggioda pilloeffe » 22/01/2019, 15:57

Ciao Salvy,

Così ad occhio applicherei il criterio della radice... Magari meglio dopo un confronto, dato che $n! <= n^n \quad \AA n >= 1 \implies (2n)! <= (2n)^{2n} \implies \sqrt{(2n)!} <= 2^n n^n $
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Re: Serie con parametro

Messaggioda Salvy » 22/01/2019, 16:24

Ma ho un dubbio, io per trovare il parametro di una serie (affinché converga o diverga) ho sempre utilizzato il criterio del confronto asintotico , posso utilizzare allora anche il criterio della radice o del rapporto?per le serie parametriche ?
Salvy
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Re: Serie con parametro

Messaggioda pilloeffe » 23/01/2019, 19:30

Applicando il criterio della radice (la maggiorazione che ho proposto nel post precedente è corretta, ma troppo "grossolana" per risolvere la serie: in effetti è meglio usare l'approssimazione di Stirling) si ha:

$\lim_{n \to +\infty} root[n]{a_n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{root[2n]{(2n)!}}{n^p} $

Il risultato dell'ultimo limite scritto è minore di $1 $, e quindi la serie proposta converge, se e solo se $p >= 1 $
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