Connessione e compattezza del gruppo di Heisenberg

[zariski]

Chiedo suggerimenti (non soluzioni, preferirei farlo da solo) riguardo al seguente esercizio:

$$ H= \left\{ A \in M_3(\mathbb{R}) \, |
A=\left( \begin{matrix}
1 & a & c \\
0 & 1 & b \\
0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right),\,\,\, a,b,c \in \mathbb{R} \right\} \le GL_3(\mathbb{R})$$
Mostrare che $H$ e' connesso e determinare se e' compatto.

Il problema e' che non sono molto sgamato coi gruppi topologici e credo di non conocscere qualche tecnica/idea abbastanza standard che si potrebbe applicare qui. L'esercizio prima mi fa determinare la forma esplicita dell'inverso di una matrice e so che tale operazione di inversione e' una mappa continua, che debba usare questo fatto?

[fmnq]

1. Lo spazio che ti interessa è connesso se e solo se è connesso per archi.
2. Per mostrare che è connesso per archi, dati due punti $X,Y\in H$, devi trovare una funzione continua \(f : [0,1]\to H\) tale che $f(0)=X, f(1)=Y$.
3. Esiste una famiglia di funzioni continue \(f_{ij} : [0,1] \to \mathbb R\), per \(1\le i,j\le 3\), tale che $f_{ij}(0)=X_{ij}$ e $f_{ij}(1)=Y_{ij}$.
4. Hai finito; perché?

[fmnq]

Per quanto riguarda la compattezza, penso tu debba mostrare se lo è nella norma operatoriale $A\mapsto \max_{1\le i,j\le n} |A_{ij}|$ (una qualsiasi va bene, tanto saranno tutte equivalenti). E' tuttavia immediato che $H$ contenga elementi di norma arbitrariamente grande, perché fissato un \(|K|\gg 1\) la matrice \(\left(\begin{smallmatrix} 1 & K & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)\) sta in $H$, e tuttavia ha norma $K$.

[fmnq]

Provo a girarla in un altro modo.

Il gruppo $GL_3(\mathbb{R})$ ha semplicemente la topologia indotta da $M_3(\mathbb{R})$, che è una $\mathbb{R}$-algebra topologica. Quando si parla di strutture algebriche topologiche significa semplicemente che hai uno spazio topologico e che le funzioni che determinano la struttura algebrica sono continue, di conseguenza stai semplicemente trattando uno spazio topologico con dei vincoli in più che lo obbligano a comportarsi bene.

In questo caso le domande sono puramente topologiche e, come stavo già dicendo, tutte le norme su $M_3(\mathbb{R})$ sono equivalenti. Sappiamo che è determinato da 9 parametri reali (quindi che topologia ha?). Se nel tuo spazio hai 3 parametri reali liberi, a cosa sarà omeomorfo lo spazio?