Esercizio su una ODE del primo ordine

Messaggioda leprep98 » 21/01/2019, 15:13

Ciao ragazzi ho un problema su questo esercizio, non so come risolverlo, qualcuno potrebbe svolgerlo e aiutarmi?
Stabilire, senza risolvere l’equazione, se il seguente problema di Cauchy ammette
unica soluzione:
$y'= tan y$ , $ y(0) = π/2$
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Re: Esercizio su una ODE del primo ordine

Messaggioda gugo82 » 21/01/2019, 15:24

Mi autocito:
gugo82 ha scritto:
Beppu95 ha scritto:P.s questo è un piccolo sfogo personale, liberi di ignorarlo. Come mai in materie come la matematica i libri tralasciano sempre la descrizione di come si risolvano effettivamente gli esercizi? La teoria è fondamentale, senza dubbio, ma non si vive di sola teoria e, come si suol dire, la pratica rompe la grammatica.

Forse altrove, ma non in Matematica o nelle scienze.
L’esercizio è figlio del discorso teorico e non si svolge in altro modo se non usando con logica (e con un po’ di abilità manuale ed intelligenza) le nozioni di teoria.

Perciò, che ti dice la teoria?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Esercizio su una ODE del primo ordine

Messaggioda leprep98 » 21/01/2019, 15:41

Penso che debba utilizzare il teorema di esistenza ed unicità di cauchy.
Le ipotesi che devo verificare sono:
f continua in $I$ X $J$
f è lipschitziana rispetto a y, quindi la derivata deve essere limitata.
f è continua I x J? Non lo so.
$tany$ mi pare non sia lipschitziana, in quanto $1 + tan^2(y)$ non è limitata, se non in un intervallo aperto $(0,pi/2)$
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Re: Esercizio su una ODE del primo ordine

Messaggioda gugo82 » 21/01/2019, 16:39

A parte le ipotesi che hai riportato (e che sono soddisfatte localmente, quindi tutto a posto), ne manca una.
Il punto iniziale $(x_0,y_0)$ dove può esser preso?
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Re: Esercizio su una ODE del primo ordine

Messaggioda pilloeffe » 23/01/2019, 03:57

Ciao leprep98,

E' vero che l'esercizio ti dice "senza risolvere l'equazione", però nel caso specifico risolvere il PdC proposto è veramente semplice... :wink:
Dopo qualche passaggio si trova $y(x) = arcsin(e^x) $
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Re: Esercizio su una ODE del primo ordine

Messaggioda gugo82 » 23/01/2019, 10:50

“Dopo qualche passaggio” totalmente insensato, immagino...

Infatti il problema assegnato non può avere alcuna soluzione.
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Re: Esercizio su una ODE del primo ordine

Messaggioda pilloeffe » 23/01/2019, 13:49

Ops... Chiedo scusa, naturalmente ha ragione gugo82: $y(x) = arcsin(c e^x) $ è la soluzione dell'equazione differenziale $y' = tan y $, non certo del PdC proposto... :wink:
Probabilmente dovrei andare a dormire la notte invece che rileggere vecchi post... :wink:
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