Esercizio su una ODE del primo ordine

[leprep98]

Ciao ragazzi ho un problema su questo esercizio, non so come risolverlo, qualcuno potrebbe svolgerlo e aiutarmi?
Stabilire, senza risolvere l’equazione, se il seguente problema di Cauchy ammette
unica soluzione:
$y'= tan y$ , $ y(0) = π/2$

[gugo82]

Mi autocito:

P.s questo è un piccolo sfogo personale, liberi di ignorarlo. Come mai in materie come la matematica i libri tralasciano sempre la descrizione di come si risolvano effettivamente gli esercizi? La teoria è fondamentale, senza dubbio, ma non si vive di sola teoria e, come si suol dire, la pratica rompe la grammatica.

Forse altrove, ma non in Matematica o nelle scienze.
L’esercizio è figlio del discorso teorico e non si svolge in altro modo se non usando con logica (e con un po’ di abilità manuale ed intelligenza) le nozioni di teoria.

Perciò, che ti dice la teoria?

[leprep98]

Penso che debba utilizzare il teorema di esistenza ed unicità di cauchy.
Le ipotesi che devo verificare sono:
f continua in $I$ X $J$
f è lipschitziana rispetto a y, quindi la derivata deve essere limitata.
f è continua I x J? Non lo so.
$tany$ mi pare non sia lipschitziana, in quanto $1 + tan^2(y)$ non è limitata, se non in un intervallo aperto $(0,pi/2)$

[gugo82]

A parte le ipotesi che hai riportato (e che sono soddisfatte localmente, quindi tutto a posto), ne manca una.
Il punto iniziale $(x_0,y_0)$ dove può esser preso?

[pilloeffe]

Ciao leprep98,

E' vero che l'esercizio ti dice "senza risolvere l'equazione", però nel caso specifico risolvere il PdC proposto è veramente semplice...
Dopo qualche passaggio si trova $y(x) = arcsin(e^x) $

[gugo82]

“Dopo qualche passaggio” totalmente insensato, immagino...

Infatti il problema assegnato non può avere alcuna soluzione.

[pilloeffe]

Ops... Chiedo scusa, naturalmente ha ragione gugo82: $y(x) = arcsin(c e^x) $ è la soluzione dell'equazione differenziale $y' = tan y $, non certo del PdC proposto...
Probabilmente dovrei andare a dormire la notte invece che rileggere vecchi post...