buona sera a tutti e grazie a chiunque risponderà.
Esercizio: sia dato un qualunque anello $A$, dimostrare che se $x\in A$ e definito l'insieme $Ax={ax:a\inA}$ si ha:
1) $Ax$ è un ideale sinistro di $A$
2) $Ax$ è contenuto in ogni ideale sinistro di A cui appartiene $x$
3) L'unica proprietà che in genere manca ad $Ax$ affinché sia l'ideale generato da ${x}$ è che ${x}\subseteq Ax$
Svolgimento:
1) Per definizione se $H$ è una parte non vuota di $A$, $H$ è un ideale sinistro se :
$\forall h,k \in H\rightarrow h-k \in H$
$\forall h\in H , \forall a \in A\rightarrow ah\in H$
Quindi nel nostro caso:
$\forall ax,bx \in Ax$con $a,b \in A\rightarrow (a-b)x \in Ax$ in quanto l'elemento $(a-b)\in A$ essendo $A$ un anello (ho un dubbio su questa motivazione se è giusta potete chiarirmi il perché?)
Siano $ax\in Ax$ e $ b\in A\rightarrow b(ax) \in Ax$ in quanto l'elemento $(ba) \in A$ (stesso dubbio di prima )
2) Sia $H$ ideale sinistro di $A$ contenente $x$.
Sia $ax \in Ax$
essendo $a \in A$ e $x\in H$ allora $ax \in H $ in quanto per ipotesi $H$ è ideale sinistro di $A$
quindi ogni elemento di $Ax$ sta anche in $H$ quindi $Ax\subseteq H$
3) é conseguenza della definizione di ideale generato da una parte ?
SI definisce ideale di $A$ generato da una sua parte $X$ l'intersezione di tutti gli ideali di $A$ contenenti $X$