Bokonon ha scritto:Comincia a mettere insieme quello che sai.
E' chiaro che diano per scontato che A sia diagonalizzabile, inoltre è non singolare quindi invertibile.
Sappiamo che gli autovalori di $A$ e di $A^T$ sono i medesimi dato che hanno il medesimo polinomio caratteristico, quindi hanno la stessa matrice diagonale D.
Sappiamo che $A=SDS^(-1)$ e quindi $A^(-1)=SD^(-1)S^(-1)$
E cosa sappiamo dell'inversa di una matrice diagonale?
Sappiamo che $A=USigmaV^(-1)$ dove $Sigma$ è la matrice dei valori singolari di A e che proprietà la collega agli autovalori di A? Ci potranno essere valori singolari pari a zero in questo specifico caso?
Allora da quello che ho messo insieme ho capito come:
I valori singolari di A sono le radici quadrate degli autovalori di
$A^T*A$.
Per la matrice in questione si ha
$A^T*A=(A^-1)^3*A=(A^-1)^2$
Ora, gli autovalori di
$(A^-1)^2$
sono i reciproci degli autovalori di A
elevati al quadrato. Per cui i valori singolari di A sono i reciproci
dei moduli degli autovalori di A.
Ora quello che non mi è chiaro è come:
Gli autovalori di $(A^-1)^2$ sono i reciproci degli autovalori di A
elevati al quadrato
anche quando A non è diagonalizzabile.Potreste chiarirmi questo passaggio?
Grazie