Equazione differenziale con condizione iniziale in funzione di un parametro

Messaggioda akecwo » 10/02/2019, 01:21

Ciao! Sto cercando di risolvere questo esercizio:
$ { ( y'(x)= ((y(x))^6-7)/(y(x))^5),( y(0)=k ):} $


Dire per quali $k in RR$ so ha soluzione, precisando per quali $k in RR$ si ha soluzione non costante definita su tutto $R$.

Allora ho soluzioni costanti, $y=+-root(6)(7) $.
Per $y!=+-root(6)(7)$ ho che:
$ int y^5/(y^6-7)dy= x+c $
$1/6log|y^6-7|=x+c$
$|y^6-7|=ce^(6x)$

$ { ( y(x)=+- root(6)(7+ce^(6x)) ),( y(x)=+- root(6)(7-ce^(6x)) ):} $ rispettivamente per $ { ( y>=root(6)(7) y<=-root(6)(7) ),( -root(6)(7)<y<root(6)(7) ):} $

Dalla condizione in $0$ ottengo
$ { ( k=+-root(6)(7+c) ),( k=+-root(6)(7-c) ):} $
ma da qui non riesco a proseguire..devo risolvere il sistema? o sono fuori strada?
akecwo
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Re: Equazione differenziale con condizione iniziale in funzione di un parametro

Messaggioda pilloeffe » 11/02/2019, 02:00

Ciao akecwo,

Dopo la parte sulle soluzioni costanti farei uso dell'integrazione definita:

$ \int_{0}^x \frac{y^5(t)y'(t)}{y^6(t) - 7} \text{d}t = \int_{0}^x \text{d}t $

$ [1/6 ln(y^6(t) - 7)]_0^x = x $

$ 1/6 ln[y^6(x) - 7] - 1/6 ln[y^6(0) - 7] = x $

$ ln[y^6(x) - 7] - ln[k^6 - 7] = 6x $

$ ln[\frac{y^6(x) - 7}{k^6 - 7}] = 6x $

$ y^6(x) - 7 = (k^6 - 7)e^{6x} $

$y(x) = \pm root[6]{(k^6 - 7)e^{6x} + 7} $

Dato che deve essere $y(0) = k $ e da quest'ultima formula si ottiene $y(0) = \pm root[6]{k^6} = \pm |k| = \pm {(k \text{ se } k > 0),( - k \text{ se } k < 0):} $

per coerenza dovrà valere il segno $+$ se $y_0 = y(0) = k > 0 $, il segno $-$ se $y_0 = y(0) = k < 0 $
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Re: Equazione differenziale con condizione iniziale in funzione di un parametro

Messaggioda akecwo » 11/02/2019, 14:21

Ti ringrazio della risposta. Sembra più chiaro.
Per concludere quindi, se per esempio $k>root(6)(7)$, dovrei avere una soluzione ben definita su tutto $RR$ non costante, giusto?
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Re: Equazione differenziale con condizione iniziale in funzione di un parametro

Messaggioda dissonance » 11/02/2019, 14:27

@pilloeffe: non so se interpreto bene, ma il problema non è tanto quello di integrare, quanto stabilire quali soluzioni sono globali e quali esplodono in tempo finito. E' una cosa da fare usando uno studio qualitativo.

In genere, le soluzioni che al tempo \(0\) sono comprese tra i due valori critici sono globali, perché non possono incrociare le due souzioni costanti (qui di solito si parla di "trappola", trapping). Le soluzioni che al tempo \(0\) sono fuori dalla trappola possono esplodere in tempo finito, convergere ad una delle soluzioni costanti, oppure fare qualche altra cosa strana, nei casi singolari.

Si tratta di rendere rigorosa questa analisi qualitativa fatta a senso.
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