Limite

[Jaeger90]

Salve, mi son inceppato nel calcolo di un limite..
$lim_(x->+oo)x+3-arctan(1/x)-sqrt(x^2+1)$ = $lim_(x->+oo)x+3-arctan(1/x)-x*sqrt(1+1/x^2)$
Potreste darmi qualche suggerimento su un metodo per eliminare questa forma indeterminata $+oo*0$?
Grazie.

[pilloeffe]

Ciao Jaeger90,

Potreste darmi qualche suggerimento su un metodo per eliminare questa forma indeterminata [...]?

Sì. Il limite proposto vale $3$. Per dimostrarlo lo riscriverei nel modo seguente:

$ \lim_{x \to +\infty} x+3-arctan(1/x)-sqrt(x^2+1) = \lim_{x \to +\infty} 3-arctan(1/x)-(sqrt(x^2+1) - x) = $
$ = \lim_{x \to +\infty} 3-arctan(1/x)-(x sqrt(1+1/x^2) - x) = \lim_{x \to +\infty} 3-arctan(1/x)- \frac{sqrt(1+1/x^2) - 1}{1/x} = $
$ = \lim_{x \to +\infty} 3-arctan(1/x)- \frac{sqrt(1+1/x^2) - 1}{1/x^2} \cdot 1/x = 3 - 0 - 1/2 \cdot 0 = 3 $

[Jaeger90]

Grazie, non penso ci sarei arrivato a trasformare così per arrivare a un limite notevole.
Sarei anche interessato a capire un altro passaggio che ho trovato in una soluzione, che scrive:
$lim_(x->+oo)x+3-arctan(1/x)-sqrt(x^2+1)$ = $lim_(x->+oo) 3-arctan(1/x)-(1/(x+sqrt(x^2+1)))$
Hai idea di come si possa arrivare a ciò?

[pilloeffe]

Hai idea di come si possa arrivare a ciò?

Certamente... Basta moltiplicare e dividere per $sqrt{x^2 + 1} + x $:

$ \lim_{x \to +\infty} x+3-arctan(1/x)-sqrt(x^2+1) = \lim_{x \to +\infty} 3-arctan(1/x)-(sqrt(x^2+1) - x) = $
$ = \lim_{x \to +\infty} 3-arctan(1/x)-\frac{(sqrt(x^2+1) - x)(sqrt(x^2+1) + x) }(sqrt(x^2+1) + x) = $
$ = \lim_{x \to +\infty} 3-arctan(1/x)-\frac{x^2+1 - x^2}{x + sqrt(x^2+1)} = \lim_{x \to +\infty} 3-arctan(1/x)-\frac{1}{x + sqrt(x^2+1)} = $
$ = 3 - 0 - 0 = 3 $

[Jaeger90]

Hai idea di come si possa arrivare a ciò?

Certamente... Basta moltiplicare e dividere per $sqrt{x^2 + 1} + x $:

$ \lim_{x \to +\infty} x+3-arctan(1/x)-sqrt(x^2+1) = \lim_{x \to +\infty} 3-arctan(1/x)-(sqrt(x^2+1) - x) = $
$ = \lim_{x \to +\infty} 3-arctan(1/x)-\frac{(sqrt(x^2+1) - x)(sqrt(x^2+1) + x) }(sqrt(x^2+1) + x) = $
$ = \lim_{x \to +\infty} 3-arctan(1/x)-\frac{x^2+1 - x^2}{x + sqrt(x^2+1)} = \lim_{x \to +\infty} 3-arctan(1/x)-\frac{1}{x + sqrt(x^2+1)} = $
$ = 3 - 0 - 0 = 3 $

Ottimo, grazie.