dargo ha scritto:Ammetto di aver dato fondo alla definizione che sapevo, cioè come dicevp che la serie di laurent ha infiniti termini singolari (esponenti negativi) da cui infiniti coefficienti dell'espansione.
“Come dicevo”...
dargo ha scritto:Il fatto che abbia infinite potenze negative del "polinomio" (bruttura lo so, ma per spiegare).
Potrei qundi svilupparla in serie prendendo w ainfinito, cioè così che sia e elevato a una t->0, con t=1/w. D'altra parte lo sviluppo vale su tutto il piano complesso, quindi andrà a coprire anche il punto w=0.
Dove lo dicevi? “Serie di Laurent”, ad esempio, dov’è?
Una definizione è va scritta così com’è data, le spiegazioni intuitive vengono dopo (o prima, a seconda dello stile di scrittura).
dargo ha scritto:Siccome voglio espanderla per L. in w=0
La mia idea era usare l'espansione di taylor centrandola w a infinito ,cioè sfruttarne mclaurin di 1/w (tanto l'espansione esponenziale converge su tutto il piano di qrgand gauss) dunque funziona anche nel punto con w=0.
A quel punto reinterpretando l'espansione avrei tutti 1/w elevati ad un numero "n", cioe tutti termini singolari
Il cambiamento di variabile $w=1/z$ porta a considerare la funzione ausiliaria $g(z) := e^z$, la quale ha sviluppo in serie di potenze centrato in $0$ del tipo:
\[
\tag{A} e^z = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!}\ z^n \; .
\]
Dato che tale sviluppo converge in un intorno (forato) di $oo$ e dato che lo sviluppo in serie di Laurent è unico, la (A) fornisce anche lo sviluppo in serie di Laurent di $g(z)$ intorno a $oo$.
La sostituzione “a ritroso” $z=1/w$ fornisce lo sviluppo in serie:
\[
\tag{B} e^{1/w} = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!}\ \frac{1}{w^n}
\]
convergente in un intorno forato di $0$; nuovamente per unicità dello sviluppo in serie di Laurent, la (B) fornisce lo sviluppo di Laurent in $0$ di $f(w)$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)