Serie di Funzioni

[anto_zoolander]

Bravo!
È chiaro che la serie avente quel termine generico diverge(perché?)
Dalla non convergenza della serie dei sup puoi affermare che la serie in esame non possa essere totalmente convergente?

[Martoro]

arcetan(n) diverge perché gli elementi tendono a π/2, credo.
Non è detto che non converga totalmente, perché il criterio è solo una condizione sufficiente

[anto_zoolander]

arcetan(n) diverge perché gli elementi tendono a π/2, credo.

Si può dire meglio; sai che se una serie converge il suo termine generico deve tendere a $0$ necessariamente e, come hai scritto, $arctan(n)->pi/2$ quindi non può convergere, inoltre la serie associata è a termini positivi quindi può solo divergere o convergere e non potendo convergere sarà necessariamente divergente.

Non è detto che non converga totalmente, perché il criterio è solo una condizione sufficiente

in questo caso invece è anche necessaria; vediamo un attimo cosa dice la convergenza totale

sia $f_n:I->RR$ una successione di funzioni, se vengono verificate le seguenti condizioni allora la serie si dirà totalmente convergente

- esiste una successione ${M_n}_(n in NN)$ di numeri reali per cui $forall n in NN( forallx in I, |f_n(x)|leqM_n)$

- la serie dei maggioranti converge: $sum_(n=0)^(infty)M_n<+infty$

Nota che la prima richiesta ti dice che le funzioni $f_n$ sono tutte limitate.
Per dimostrare che la serie di funzioni non sia totalmente convergente basta mostrare che la serie dei sup diverge, l'idea è questa:

consideriamo una successione di funzioni limitate $f_n:I->RR$ e prendiamo $S_n:=s u p_(x in I)|f_n(x)|$(puoi notare che gli $S_n$ sono tutti finiti essendo le funzioni della successione limitate).

La serie $sum_(n=0)^(+infty)S_n$ è a termini positivi quindi diverge o converge e possiamo avere due risultati:

- la serie converge => abbiamo convergenza totale
- la serie diverge => ?

supponiamo che $sum_(n=0)^(+infty)S_n=+infty$

se per assurdo la serie convergesse totalmente allora esisterebbe una successione ${M_n}_(n in NN)$ che rispetta le ipotesi sopra riportate.

fissato $n in NN$ si ha $f_n(x)leqM_n, forallx in I$ da cui, per proprietà del sup, si ottiene

$S_n=s u p_(x in I)|f_n(x)|leqM_n => +infty=sum_(n=0)^(+infty)S_nleqsum_(n=0)^(+infty)M_n<+infty$

ottenendo una contraddizione.

Quindi la convergenza della serie dei sup è una condizione necessaria e sufficiente affinchè una serie possa essere totalmente convergente.

Hai visto che la serie dei sup, di termine generico ${arctan(n)}_(n in NN)$, non converge e quindi la convergenza non può essere totale.

Se anche questo è chiaro andiamo avanti.

[Martoro]

Ti ringrazio per la risposta veramente esaustiva.
Per la convergenza uniforme da dove posso partire?

[anto_zoolander]

Ancora manca qualcosa; abbiamo considerato la convergenza totale su tutto $RR$, ma cosa possiamo dire sui sottoinsiemi?

La funzione è pari e strettamente monotona sui positivi quindi negli intervalli del tipo $[-a,a]$ con $a>0$ quindi

$M_n=s u p_(x in [-a,a])|f_n(x)|= arctan((an^2)/(a^4+n^2))$

Considerando che $arctan((na^2)/(n^4+a^2)) ~ a/n^3$ la seguente serie è convergente

$sum_(n=0)^(+infty)arctan((na^2)/(n^4+a^2))$

Pertanto la serie è totalmente convergente negli intervalli del tipo $[-a,a]$ con $a>0$.
La serie converge totalmente in ogni intervallo limitato contenuto in $RR$

In poche parole l’ultima cosa che manca è la convergenza uniforme su $RR$.
Ci hai pensato?