Ai fini del mio dubbio consideriamo solo una parte dell'enunciato
Sia data $ f:[a,+\infty)->\RR $ continua ed integrabile in ogni intervallo $ [a,t) $ con $ t>a $. Supponiamo che esista una funzione $ g(x) $ integrabile in $ [a,+\infty) $ e che sia verificata la condizione $ 0\lef(x)\leg(x)\forallx\in[a,+\infty) $. Allora $ f(x) $ è integrabile in $ [a,+\infty) $.
Partendo da $ 0\lef(x)\leg(x)$ segue che $ \int_{a}^{t} f(x)\ dx\le\int_{a}^{t} g(x)\ dx $. Abbreviando $ F(t)\leG(t) $ . Dalla positività delle funzioni di partenza deriva la crescenza delle rispettive funzioni integrali. Per hp $g(x)$ è integrabile in $ [a,+\infty) $. Per definizione esiste finito il $ \lim_{t \to +\infty}G(t)=\int_{a}^{+\infty} g(x)\ dx $. Per il teorema delle funzioni monotone tale limite è uguale all'estremo superiore di $ {\int_{a}^{t} g(x)\ dx}\forallt>a $. Quindi $ F(t)\leG(t)\le\int_{a}^{+\infty} g(x)\ dx $. In definitiva $F(t)$ è crescente e limitata superiormente e quindi ammette limite finito per $t->+\infty$. Il criterio è dimostrato
Se volessi ripetere la dimostrazione partendo da funzioni definite in $(-\infty,a]$, arriverei a $ \lim_{t \to -\infty}G(t)=\int_{-\infty}^{a} g(x)\ dx $. Per il teorema delle funzioni monotone tale limite è uguale all'estremo inferiore di $ {\int_{t}^{a} g(x)\ dx}\forallt<a $. Arrivato a questo punto non riesco a sfruttare la definizione di estremo inferiore per verificare la limitatezza inferiore di $F(t)$ così come fatto sopra nel caso dell'estremo superiore. Come potrei fare?