Procedimento di Gram-Schmidt

[Daniela0]

Buongiorno, spero di essere nella sezione corretta per fare questa domanda.
Sto studiando il procedimento di Gram-Schmidt applicato agli spazi di funzione e non ai vettori. Ebbene, non mi é chiaro nel procedimento, che allego, il perché operare in questo modo ci permetta di trovare una base ortonormale, né la necessità di passare attraverso una funzione ausiliaria.
Inoltre in particolare non capisco perché venga detto che evidentemente $ || \varphi2 || = 1 $
né é chiaro come mai possa dire
$ || \vartheta2 || = (x2, \varphi2) $.
Sono tutti passaggi che non riesco a comprendere, allego la pagina perché sarebbe complesso da riportare.
Grazie in anticipo e scusate la scarsa qualità dell'immagine ma caricandola si rovina.

[vict85]

Per la prima domanda, \(\displaystyle \varphi_2 \) è un vettore unitario perché è uguale a \(\displaystyle \frac{\theta_2}{\lVert\theta_2\rVert} \).

Riguardo alla seconda hai che \(\displaystyle \theta_2 = \lVert\theta_2\rVert \varphi_2 \) e al contempo \(\displaystyle x_2 = \theta_2 + \langle x_2, \phi_1\rangle \varphi_1 \). A questo punto hai che \(\displaystyle \langle x_2, \varphi_2 \rangle = \bigl\langle \theta_2 + \langle x_2, \phi_1\rangle \varphi_1, \varphi_2 \bigr\rangle = \langle \theta_2, \varphi_2\rangle + \langle x_2, \phi_1\rangle\langle \varphi_1, \varphi_2\rangle = \lVert\theta_2\rVert\langle \varphi_2, \varphi_2 \rangle \).

Comunque non vi è alcune differenza tra GS per spazi vettoriali normali e GS per spazi funzionali. La logica è esattamente la stessa.

[Bokonon]

Inoltre in particolare non capisco perché venga detto che evidentemente $ || \varphi2 || = 1 $

Perchè è appena stata normalizzata.
$varphi_2(t)=(theta_2(t))/||theta_2(t)||$ quindi $||varphi_2(t)||=(||theta_2(t)||)/||theta_2(t)||=1$

né é chiaro come mai possa dire
$ || \vartheta2 || = (x2, \varphi2) $.

Guardala diversamente.
$x_2(t)=(x_2,varphi_1)varphi_1(t)$ è la proiezione di $x_2(t)$ su $varphi_1(t)$.
Per differenza abbiamo ottenuto $theta_2(t)$ che è per perpendicolare (per costruzione) a $varphi_1(t)$.
Ora possiamo anche immaginare di proiettare $x_2(t)$ su $theta_2(t)$ ovvero $(x_2,theta_2)theta_2(t)=theta_2(t)$ perchè la proiezione è banalmente $theta_2(t)$ stessa.
Se moltiplichiamo e dividiamo per $||theta_2||$ otteniamo:
$(x_2,theta_2)theta_2(t)=(x_2,theta_2)/||theta_2(t)||||theta_2(t)||theta_2(t)=(x_2,varphi_2)varphi_2(t)$
In altre parole, alla fine di tutto, $x_2(t)$ è la somma delle proiezioni.

[Daniela0]

Intanto grazie per la risposta.
Comunque temo di non avere proprio capito, dopo l'ultimo passaggio, quando moltiplichiamo e dividiamo per
$ ||vartheta2||$ come si é ottenuta la conclusione $(x2,\varphi2)\varphi2$