Problema su equilibrio di corpi immersi in un fluido

[LightOut]

Salve a tutti. Ho trovato questo esercizio sui fluidi che mi ha creato qualche problema e quindi chiedo il vostro aiuto per la risoluzione.
Il testo è il seguente:

Un'asta di legno omogenea cilindrica di lunghezza L è incerniata sul fondo di un recipiente riempito d'acqua fino ad un'altezza pari a L/2. Sapendo che la densità del legno è di 0.4 gr/cm³, determinare l'angolo α che l'asta forma con l'orizzontale nella posizione di equilibrio.

Avevo pensato alla spinta di Archimede S che agisce sull'asta, quindi la reazione totale R=mg-S. Solo che non riesco a capire come trovare l'angolo, c'entra forse il momento della forza peso e della spinta?
Attendo le vostre correzione e vi ringrazio per il tempo dedicatomi.

[Shackle]

Scrivi il tuo ragionamento. Certamente c'entra il momento delle forze rispetto a un opportuno polo, ma non solo. Ti aiuto con questo disegno :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

ci sarà un motivo per cui l'asta, nella posizione inclinata dell'angolo di equilibrio $alpha$ , deve sporgere di un tratto BD fuori dell'acqua ? Chiarito questo, devi fare un po' di trigonometria, e scrivere le equazioni di equilibrio alla traslazione e a alla rotazione .

[LightOut]

Ti ringrazio per l'aiuto, ma non sono riuscito a venirne a capo. Ho provato mettendo a confronto il momento della forza peso e quello della spinta, dato che il sistema è in equilibrio, ma sono sicuro che mi sfugge qualcosa.

[Shackle]

Prima di tutto, devi capire perché l’asta, nella posizione di equilibrio, deve sporgere un po’ dall’acqua. Se la cerniera C non ci fosse, dove sarebbe l’asta? Ha densità inferiore all’acqua.
Poi ti servono due equazioni di equilibrio: una alla traslazione verticale, per cui la somma vettoriale delle tre forze agenti deve essere nulla; un’altra che esprima l’equilibrio alla rotazione rispetto alla cerniera C. Ha smesso bene le forze, nei rispettivi punti di applicazione? Dove è applicato il peso, dove è applicata la spinta ricevuta dalla parte sommersa dell'asta ? Quanto valgono ? Perchè non posti quello che hai fatto ?

[LightOut]

Ho considerato spinta e forza peso. La spinta è applicata a metà della lunghezza dell'asta immersa, che ho indicato con L₂/2, mentre la forza peso è applicata a meta dell'asta totale, L/2. Indicando con A la sezione ho scritto:
Momento forza peso: ρ₁*L*A*g*L/2*senα
Momento spinta: ρ₂*L₂*A*g*L₂/2*senα
Quindi in dato che l'asta è in equilibrio ho scritto ρ₁*L*A*g*L/2*senα=ρ₂*L₂*A*g*L₂/2*senα, e qui mi blocco.

[Shackle]

Punto primo : sei pregato di usare l'editor di testo per scrivere le formule . Perchè mi devo scervellare a leggere e interpretare formule scritte in quel modo ?
Punto secondo : non mi hai spiegato perché l'asta deve sporgere dall'acqua, in posizione di equilibrio. Forse lo capirai dopo.

Non dovendo calcolare la reazione della cerniera C , basta solo l'equilibrio dei momenti di peso e spinta rispetto a C.

Guarda la figura . Il triangolo ABC è rettangolo . Si ha :

$ AC = L/2$
$tg\alpha = (AC)/(AB) = L/(2AB) rarr AB = (Lcosalpha)/(2senalpha) $
$CB = L/(2senalpha) $

Braccio di $vecP$ rispetto a C = $L/2cosalpha$

Braccio di $vecS$ rispetto a C = $ 1/2AB = (Lcosalpha)/(4senalpha) $

Equilibrio dei momenti rispetto a C : $ P*L/2cosalpha = S* (Lcosalpha)/(4senalpha) $

da cui, semplificando : $P = S/(2senalpha)$

dette $rho_l$ la densità del legno , e $rho_w$ quella dell'acqua , e $A$ la sezione dell'asta , si ha :

$P = rho_lAL $
$S= rho_wAL/(2senalpha)$

quindi, per quanto sopra : $rho_lAL = (rho_wAL) / (4sen^2alpha) $

da cui : $4sen^2alpha = \rho_w/\rho_l = 2.5rarr senalpha = sqrt( 2.5)/2 = 0.79 rarr alpha = 52º.238 $