Problema dinamica del punto materiale

[Francio99]

Buongiorno ragazzi, sto riscontrando delle difficoltà con questo esercizio:

Su un piano orizzontale privo di attrito è posto un corpo A di massa m collegato a sinistra con un filo di blocco , a destra con un filo di massa trascurabile passante per un piolo liscio, con all’estremità un corpo B di massa m appeso nel vuoto e sulla verticale a una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo l0. A un certo istante viene tagliato il filo di blocco ed il sistema comincia a muoversi. Ricavare l’espressione della velocità v dei due corpi nel momento in cui la massa A si stacca dal piano orizzontale.
(Allego foto per chiarezza)

Io il problema l’ho impostato cosi: il corpo si stacca quando la reazione normale cessa di agire, ovvero quando la componente verticale della forza elastica è uguale alla forza peso. Le altre forze in gioco sono la tensione (positiva) e la componente orizzontale della forza elastica (opposta alla tensione) per il corpo A, la forza peso e la tensione (opposta alla forza peso) per il corpo B. Ho dunque tre equazioni ma 4 incognite (Accelerazione, Allungamento del filo, l’angolo tra la molla e la verticale nell’istante in cui il corpo si stacca ed infine la tensione). Probabilmente non sto considerando qualche simmetria tra allungamento e lunghezza a riposo, potreste aiutarmi? Grazie in anticipo

[mgrau]

Il punto in cui il corpo si stacca dal piano lo puoi trovare per via esclusivamente geometrica, perchè non dipende dalla tensione del filo, nè dalla velocità ne dall'accelerazione. Poi il problema mi pare si possa risolvere utilizzando il teorema dell'energia cinetica, visto che, conoscendo il punto, conosciamo il lavoro sia del peso che della molla

[Francio99]

Ciao, intanto grazie per la risposta purtroppo però continuo a non capire come procedere..

[mgrau]

Se $x $ è lo spostamento del corpo la lunghezza della molla è $L =sqrt (L_0^2+x^2) $ la forza esercitata è $F =k*(L-L_0) $ e la sua componente verticale è $F_v =F*L_0/L $
Così va meglio?

[Francio99]

Si! Questo suggerimento mi è stato molto d'aiuto. Ho proceduto così: se $N=0$ allora $mg= k(l-l0) * (l0)/l$ dunque risolvendo $l= (k*l0^2)/(kl0-mg)$
A questo punto ho per il corpo B $mg - T =ma$ e per il corpo A $T- k(l-lo) * x/l = 2ma$ dove $x= sqrt(l^2-l0^2)$

Risolvendo dovrei ottenere $ a= (mg-k(l-l0)*x/l)/(2m)$ . Credo di aver fatto i conti giusti, il problema è che con i dati del testo l'accelerazione mi viene fuori negativa e dunque credo di star sbagliando da qualche parte in quanto il corpo A deve muoversi verso destra, concorde con $T$. Ti chiedo dunque un ultimo aiuto per capire dove sbaglio (se è una questione di numeri o di ragionamento errato). I dati del problema sono i seguenti $m=0,3 kg . k=20 N/m .l0=0,3 m$ aggiungo che il risultato finale è $ v=1,1 m/s$ .

Dai miei calcoli risulta $L=0,59 m , x=0,51 m $

[mgrau]

Non è detto che il corpo A si muova sempre verso destra... la situazione è complicata, e con dati diversi potrebbe magari non raggiungere mai il punto di distacco, o oscillare avanti e indietro... Niente vieta che nel punto di distacco stia decelerando...
Il punto è che se ti metti a calcolare l'accelerazione di metti in un ginepraio, suppongo che esca una equazione differenziale della madonna...
fortunatamente ti chiede solo la velocità nel punto di distacco, e questa la trovi col teorema dell'energia cinetica: le due masse hanno la stessa velocità, per cui l'energia cinetica delle due deve uguagliare il lavoro del peso B che scende meno il lavoro della forza elastica.
Già da qui puoi vedere che che nel punto di distacco il lavoro totale potrebbe essere negativo (se la molla è rigida, o il corpo B è leggero), così il punto non verrebbe mai raggiunto.

[Francio99]

Caspita, pensavo fosse possibile una soluzione analitica "semplice" del moto, evidentemente mi sbagliavo.
Tuttavia continuo ad avere difficoltà nella parte finale per l'energia ho proceduto così $ -(Uf - Ui)= Ekf -Eki$ e considerato che l'energia potenziale iniziale elastica è zero, scelto come zero per l'energia potenziale della forza peso la quota della posizione finale del corpo, anche l'energia potenziale finale della forza peso sarà zero. Siccome il punto A si muove sull'asse di una quota $x$ (calcolata precedentemente) allora anche il corpo B scende di $x$ perché il filo è inestensibile (è corretto?). Fatte queste considerazioni dovrei avere $mgx - 1/2k(l-l0)^2= 1/2mv^2 + 1/2mv^2$ ma ahimè i conti continuano a non tornare.. sbaglio da qualche parte?

Grazie mille per la pazienza

[mgrau]

Il procedimento mi sembra giusto, Però, a me risulta $x = 0.27$. Magari ho sbagliato i conti, però prova a verificare.

[Francio99]

Niente quel $x=0,27$ proprio non mi viene fuori. Ho provato anche a ricavare $l$ supponendo che x sia realmente $x=0,27$ ma, facendo i calcoli, viene fuori $v=1.17 m/s$ mentre dovrebbe risultare $1.1 m/s$.. non saprei, grazie per la pazienza dimostrata comunque!

[mgrau]

Riguardando i conti, quel $0.27$ è sbagliato di grosso. Però si vede che, approssimando $g = 10$, se $L= 0.6m$, $DeltaL = 0.3m$, $F = 6N$, e $F_(vert) = 3N$ che è appunto il peso di B. Da qui $x = 0.3sqrt(3) = 0.52 m$
A questo punto, il lavoro del peso è $3N*0.52cm = 1.56J$ meno l'energia potenziale elastica $1/2*20*0.52^2 = 2.7J$ ossia il totale è appunto negativo, quindi questa situazione non sarebbe realizzabile. Mah...