Sulla misurabilità di una funzione semplice

[elatan]

Salve a tutti, la problematica che vado ad esporvi non è terribilmente complicata, ma terrei a sapere se il mio procedimento è corretto o meno.

Un funzione $s:X\to \mathbb{R}$ è detta semplice se il suo codominio è un insieme finito, cioè $s(X)=\{c_1,...,c_n\}$. Ora, sia $s$ una funzione semplice. Siano $c_1,...,c_n\in\mathbb{R}$ distinti ed $E_1,...E_n\subseteq X$ disgiunti, con $X=\bigcup_{k=1}^n E_k$, tali che risulti $$s=\sum_{k=1}^n c_k\chi_{E_k}.$$ La precedente espressione è detta $\text{forma canonica}$ di $s$. In questo contesto gli insiemi $E_k:=\{s=c_k\}$ per ogni $k=1,...,n$.

Esercizio. Sia $(X,mathcal{A})$ uno spazio misurabile. Sia $s:(X,\mathcal{A})\to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ una funzione semplice. Sia $s=\sum_{k=1}^n c_k\chi_{E_k}$ la forma canonica di $s$. Allora $s$ è $\mathcal{A}$-misurabile se e solo se $E_k\in\mathcal{A}$.

Svolgimento. Sia $s$ $\mathcal{A}$-misurabile, allora per ogni boreliano $B\in\mathcal{B(\mathbb{R})}$ risulta $s^-1(B)\in\mathcal{A}$. Pertanto $s^-1(\{c_k\})\in\mathcal{A}$ per ogni $k=1,...,n.$ (osserviamo che ogni $\{c_k\}$ è un boreliano in quanto chiuso.). Tuttavia $$\mathcal{A}\ni s^{-1}(\{c_k\})=E_k\quad \text{per ogni}\quad k=1,...,n.$$ Viceversa siano $E_1,...,E_n$ disgiunti e misurabili. Sia $B\in\mathcal{B(\mathbb{R})}$ e sia $$I:=\big\{k\in\{1,...n\}\;|\;c_k\in B\big\},$$ cioè se $k\in I$, allora $c_k\in B$. Mostriamo che $$s^{-1}(B)=\bigcup_{k\in I} E_k.$$ Sia $x\in\cup_{k\in I} E_k$ allora, poiché gli insiemi $E_k$ sono disgiunti, esiste un unico $k_0\in I$ tale che $x\in E_{k_0}.$ Allora $s(x)=c_{k_0}\in B$, pertanto $x\in s^{-1}(B).$

Viceversa, sia $x\in s^{-1}(B)$, allora $s(x)\in B$, tuttavia $s(x)=c_i$ per $i=1,...,n$, allora $s(x)=c_k$ per qualche $k\in I$, poiché i $c_i$ sono distinti, esiste un unico $k_0\in I$ tale che $s(x)=c_{k_{0}}$, pertanto $x\in E_[k_0]$, allora $x\in\cup_{k\in I} E_k$.

Questo procedimento è corretto?
Lo stesso risultato può essere mostrato in maniera più semplice?

Vi ringrazio

[vict85]

Prima di tutto vorrei correggerti sulla terminologia e la notazione.

Codominio e immagine di una funzione non sono la stessa cosa. Il codominio di una funzione \(s\colon X\to\mathbb{R}\) è \(\mathbb{R}\), mentre l'immagine di una funzione è l'insieme delle immagini degli elementi del dominio della funzione. Quindi tu stai chiedendo che l'immagine sia finita e non il suo codominio.

Secondariamente, è chiaro cosa tu intenda con la notazione \(E_k:=\{s=c_k\}\) ma non è matematicamente corretta. Quello che vuoi dire è \(\displaystyle E_k = s^{-1}(\{c_k\}) \) o equivalentemente \(E_k=\{e\in E | s(e) = c_k\}\).

Venendo al tuo svolgimento. La prima parte è corretta. Faccio solo notare che, escludendo gli usi letterari e arcaici, tuttavia è usata generalmente come congiunzione avversativa. Avrei quindi usato congiunzioni diverse. Avresti comunque potuto unire le due frasi in una sola scrivendo direttamente \(\displaystyle E_k = s^{-1}(\{c_k\}) \in \mathcal{A} \).

La seconda parte è piuttosto prolissa. La dimostrazione era piuttosto breve: sia infatti \(B\in\mathcal{B(\mathbb{R})}\), allora \[s^{-1}(B) = s^{-1}\bigl(B\cap s(X) \bigr) = s^{-1}(I) = \bigcup_{k\in I} E_k \in \mathcal{A}.\]
Per l'arbitrarietà della scelta di \(B\), ne consegue che \(s\) è \(\mathcal{A}\)-misurabile.
In particolare, il fatto che gli insiemi siano disgiunti non è molto importante. Cosa ti fa pensare che fosse necessario nella dimostrazione?

[elatan]

Ti ringrazio per la tua puntuale e dettagliata risposta.
Fortunatamente ho confuso l'immagine con il codominio solo da un punto di vista terminologico e non matematico!

Siccome l'esercizio precisava che si trattava della rappresentazione canonica, ho pensato che in qualche modo dovessi sfruttare il fatto che gli insiemi fossero disgiunti, ma a quanto pare il risultato continua a valere, in generale, per una funzione che assume un numero finito di valori. Giusto?

[vict85]

Sia \(\displaystyle f\colon X\to Y \) una funzione qualsiasi tra due insiemi non vuoti. Allora, per ogni \(\displaystyle y_1, y_2 \in Y \), \(\displaystyle f^{-1}\{y_1\} \cap f^{-1}\{y_2\} = \emptyset \vee y_1 = y_2 \). Insomma è una coseguenza della definizione di funzione.

D'altra parte, il fatto che siano disgiunti non è importante al fine di dimostrare che gli insieme siano in \(\mathscr{A}\) perché l'unione di insiemi misurabili è ancora un insieme misurabile. Nota che il teorema sarebbe stato vero anche se avessi considerato funzioni con immagine numerabile.

[elatan]

Un'ultima cosa: visto che $I$ è un insieme di indici, non sarebbe più corretto definire l'insieme $$\tilde{I}:=\{c_k\in s(X)\;|\; k\in I\}=\{c_k\in s(X)\;|\; c_k\in B\}.$$ E quindi,
$$s^{-1}(B)=s^{-1}\big(B\cap s(X)\big)=s^{-1}(\tilde{I})=\bigcup_{k\in I} E_k.$$

Spero di non aver appesantito inutilmente la notazione.

[vict85]

Si, certo. Quello che avevo scritto prima era sbagliato.