[Elettrotecnica] Circuito PAS con wattmetro/varmetro

[Fabbiooo]

Buonasera a tutti, sto cercando di risolvere il seguente circuito e mi sono impappinato



I dati sono: $e_1(t)=12sqrt(2)cos(100t)$, E2=11V, R1=R3=R4=11ohm, C4=0.000200F, C6=0.000100F, L4=0.500H, L5=1H, T=2s.
Le richieste sono:
1) valore della corrente i1(T);
2) valore della corrente i2(T);
3) valore massimo della tensione ai capi di L5;
4) lettura del wattmetro ideale;
5) lettura del varmetro ideale.

Prima di risolvere il circuito ho fatto delle considerazioni.
Applico il PSE e inizialmente spengo E2:
_il ramo centrale diventa un circuito aperto per risonanza parallelo;
_il parallelo tra i due induttori L5 e il parallelo tra i due condensatori C6 dà due reattanze da j50ohm (induttiva) e da -j50ohm (capacitiva), le quali, messe in serie, mandano in corto il ramo che le contiene.
Spegnendo il generatore in alternata sostituisco semplicemente a induttori e condensatori rispettivamente corti circuti e circuiti aperti.

Sulla prima domanda non dovrei aver avuto problemi, se non solo di calcolo:
_spengo E2: $I_1'=\frac{E1}{R1+R3}=0.5455A\Rightarrowi_1'(t)=sqrt(2)0.5455cos(100t)\Rightarrow i_1'(T)=0.3758A$;
_spengo e1(t): $I_1''=0A$;

$\Rightarrow i_1(T)=0.3758A$.

Sulla seconda ho solo una supposizione:
$i_2(T)$ coincide con $i_1(T)$.

Sulla terza ho provato, ma secondo me i calcoli sono parziali:
_calcolo la tensione sull'induttore: $V_{L5}=jX_{L5}I_1'=j27.275V\Rightarrow V_{Lmax}=sqrt(2)*27.275=38.57V$

Le ultime due non le ho svolte perchè sono collegate alla seconda e non so se la mia risposta sia giusta

Qualcuno riuscirebbe ad aiutarmi? Grazie mille

[RenzoDF]

Viste le risonanze e visto che il GIT in continua non contribuiva alla corrente, la stessa poteva essere determinata rimanendo nel dominio del tempo, senza scomodare i fasori

$i_1(t)=(e_1(t))/(R_1+R_3)= 6/11 \sqrt(2) \cos(100 \ t)$

e ovviamente,

$i_1(t)=-i_2(t)$

Per la tensione massima sull'induttore, è poi sufficiente moltiplicare il valore massimo della corrente per la reattanza del parallelo

$V_{L5_M}=(I_{1_M} \omega L_5)/2$

Non ti resta che ricavare le indicazioni di wattmetro e varmetro.

BTW Senza punto di connessione, il ramo L5 - C6 inferiore non è connesso al morsetto superiore di R4, ad ogni modo in questo caso non cambierebbe nulla per quanto riguarda i risultati.

[Fabbiooo]

Ciao RenzoDF, ti ringrazio della risposta e ti chiedo scusa per l'assenza, ma ho dovuto accantonare il problema per qualche giorno
Rifacendo i conti, mi sono reso conto che i passaggi con cui ho determinato $i_1(T)$ sono giusti, ma ho sbagliato a digitare con la calcolatrice.
Non capisco perchè $i_1(t)=-i_2(t)$. Mi rendo conto di aver scritto io stesso l'uguaglianza (a meno del segno negativo), ma a riguardare il circuito semplificato sono giunto alla conclusione per cui $i_2(t)=i_2(T)=0A$ (circuito in continua, perciò i condensatori sono circuiti aperti). Potresti spiegarmi dove sbaglio col ragionamento?
Per quanto riguarda i conti su wattmetro/varmetro li ho così svolti (tenendo presente la tua osservazione riguardo il verso di $i_2(t)$):
$S=E_2I_2^*=-7.32VA$, perciò la lettura del wattmetro è -7.32W e la lettura del varmetro è 0var. Confermi?

[RenzoDF]

La i2(t) cosi come la i1(t) sono le correnti forzate da entrambi i generatori e hanno semplicemente una convenzione di verso opposta.
Non concordo invece sull'indicazione del wattmetro.

[Fabbiooo]

Vale 0W per caso?

[RenzoDF]

Non è che si può tirare a indovinare, basta pensare cosa deve misurare un wattmetro, per dare la risposta.

[Fabbiooo]

Il wattmetro è uno strumento che serve misurare l'energia attiva e calcola semplicemente il prodotto tra la tensione a cui è sottoposta la sua voltmetrica (nel caso dell'esercizio è un valore costante pari ad E2) e la corrente che percorre la sua amperometrica (in questo caso la corrente è la $i_2(t)$).
Fino a qui ho ragione di credere che sia tutto ok, perciò credo di non aver inquadrato bene la questione sulla $i_2(t)$. Te, correggimi se ho inteso male, hai detto che $i_2(t)=-i_1(t)$, perciò la lettura del wattmetro la determino semplicemente calcolando il prodotto tra i due valori noti, ottenendo $-7.32W$.
Secondo me $i_2(t)=0A$, perciò le lettura risulta 0W.
Dove sbaglio col ragionamento?

[RenzoDF]

Il wattmetro è uno strumento che serve misurare l'energia attiva e calcola semplicemente il prodotto tra la tensione a cui è sottoposta la sua voltmetrica (nel caso dell'esercizio è un valore costante pari ad E2) e la corrente che percorre la sua amperometrica (in questo caso la corrente è la $i_2(t)$).

Un wattmetro misura la potenza¹, non l'energia e la sua indicazione è pari al prodotto fra la tensione applicata alla sua voltmetrica e la corrente entrante nella sua amperometrica, solo nel caso di grandezze continue.
Nel caso di grandezze alternate isofrequenziali c'è, come ben sai, un terzo termine in quel prodotto², ovvero il coseno dell'angolo di sfasamento.
In questo caso particolare però, non ci troviamo in nessuna delle due precedenti condizioni e di conseguenza bisogna andare un po' più in profondità, ricordando qual'è la relazione più generale per la potenza attiva associata ad una generica coppia di funzioni v(t) e i(t).

... credo di non aver inquadrato bene la questione sulla $i_2(t)$. Te, correggimi se ho inteso male, hai detto che $i_2(t)=-i_1(t)$, ...

Esatto.

... perciò la lettura del wattmetro la determino semplicemente calcolando il prodotto tra i due valori noti, ottenendo $-7.32W$....

Purtroppo no, per quanto precedentemente detto, siamo in una condizione di tensione continua applicata alla voltmetrica e di corrente alternata attraverso l'amperometrica.

... Secondo me $i_2(t)=0A$, perciò le lettura risulta 0W....

Vedo che purtroppo non riesco proprio a convincerti; non puoi forse ricavare la corrente i2(t) come hai fatto per la i1(t), andando a sommare i due contributi parziali dei due generatori?
Il contributo del generatore in continua è nullo per entrambe, ma quello del generatore in alternata non è nullo, per entrambe, ma solo di segno opposto.

... Dove sbaglio col ragionamento?

Come già detto, sbagli nell'andare ad usare una relazione in questo caso non valida per la potenza attiva e nel continuare a sostenere che i2(t)=0.

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Note

1. Attraverso la sezione della rete associata alla sua inserzione. ↑
2. Fra i valori efficaci V e I. ↑

[Fabbiooo]

Ho provato a documentarmi a seguito del tuo ultimo commento e sono riuscito ad arrivare alla seguente conclusione:

ricordando qual è la relazione più generale per la potenza attiva associata ad una generica coppia di funzioni v(t) e i(t)

Credo proprio tu ti stia riferendo a questa relazione: $P=1/T\int_{0}^{T}p(t)dt$, con i dati $p(t)=i_2(t)E_2=-0.5455E_2sqrt(2)cos(100t)$.
Non sono riuscito a trovare altro in merito.

non puoi forse ricavare la corrente i2(t) come hai fatto per la i1(t), andando a sommare i due contributi parziali dei due generatori?
Il contributo del generatore in continua è nullo per entrambe, ma quello del generatore in alternata non è nullo, per entrambe, ma solo di segno opposto.

Ho capito il mio errore: pensavo di applicare il PSE senza sommare i contributi derivanti da entrambi i generatori. Lo avevo commesso anche in qualche esercizio fa.

[RenzoDF]

... Credo proprio tu ti stia riferendo a questa relazione:
$P=1/T\int_{0}^{T}p(t)dt$, con i dati $p(t)=i_2(t)E_2=-0.5455E_2sqrt(2)cos(100t)$.

Esatto ... la potenza attiva non è altro che il valor medio della potenza istantanea sul periodo T.

... e quindi, quale sarà l'indicazione di quel wattmetro (ideale)