Variabile aleatoria con pdf

[MrEngineer]

Ciao ragazzi,l'esame si avvicina e vorrei riportare alla mente alcuni concetti che non mi sono molto chiari. La pdf è la seguente:

https://imgur.com/a/MJWrW45

In teoria, non conosco il valore della pdf in ordinata, che volgarmente è l'altezza dei due triangoli. Posso porre tale valore pari a $k$, calcolare l'area dei due triangoli e porre l'area pari a $1$ al fine di ricavare il suddetto valore?

Sia $Y$ la variabile definita come $Y=|X|+1$. Calcolare:
1. Media e varianza di $X$
2. La probabilità che sia $Y>2$
3. La probabilità che sia $Y<2X$
4. La media di $Y$
5. La distribuzione di probabilità di $Y$ in $2$, cioè $F_Y(2)$.

Un'altra cortesia che vi chiedo è di darmi, se possibile, qualche concetto sulle variabili aleatorie che "dipendono" da altre. In questo caso $Y = |X|+1$ ma che andamento avrà la sua pdf? Come ci si comporta, in generale, con esercizi scolastici come questo?

Per il primo punto, se quello che ho detto poco sopra è corretto,non dovrebbero esserci problemi.

[tommik]

1) sì, ricavi il valore in ordinata come hai intuito. Si vede anche ad occhio che viene $2/3$. Sono 3 triangoli congruenti (uguali, in gergo poco matematico) ciascuno di area $1/3$

2) la pdf di Y non è richiesta e non serve per rispondere alle domande. Ad ogni modo puoi calcolartela, mi pare che tu abbia già fatto $n$ esercizi in proposito.....con $n$ sufficientemente grande....IMHO

Questi quesiti si risolvono senza troppi ragionamenti o calcoli....ti mostro il più "complicato"

$mathbb{P}[Y<2X]=mathbb{P}[|X|+1<2X]=mathbb{P}[|X|<2X-1]=mathbb{P}[X>1]=1/3$

(è l'area del triangolo più a destra)

Per l'ultimo quesito invece ti consiglio di fare un check del testo perché la distribuzione di probabilità in $Y=2$ è $F_Y(2)=mathbb{P}[Y<=2]$ mentre con la $f$ minuscola si indica la densità di probabilità...penso che ormai dovresti avere familiarità con questi concetti....no?

[MrEngineer]

Grazie per aver risposto Tommik. Allora provo a svolgerlo e vi faccio sapere postando i risultati.

Per l'ultimo quesito invece ti consiglio di fare un check del testo perché la distribuzione di probabilità in $Y=2$ è $F_Y(2)=mathbb{P}(Y<=2]$ mentre con la $f$ minuscola si indica la densità di probabilità...penso che ormai dovresti avere familiarità con questi concetti....no?

Ho ricopiato il testo senza accorgermi dell'errore e di sicuro neanche il professore se ne sarà accorto. Grazie per avermelo comunque fatto notare.

[MrEngineer]

Ho provato a risolvere il primo punto. In particolare:
$k = 2/3$ come già detto;

$E(X) = -2/9$;

$\sigma_x ^2 = 217/162$.

Fin qui tutto ok?

2) $P(Y > 2) = P(|X|+1 > 2) = P(|X| > 1) = P(X<-1 \vee X>1) = 2/3$ ?

3) Come hai detto, $P(Y< 2X) = 1/3$;

5) $F_y(2) = P(Y<=2) = P(|X|+1 <= 2) = P(|X|<=1) = P(-1<=X<=1) = 1/3 $ ???

[MrEngineer]

Mi fido di ciò che c'è scritto, ossia distribuzione di probabilità supponendo che l'errore sia quello di notazione perchè giustamente, come dici, solo chi ha scritto il testo può dare la giusta interpretazione.

Mi sono accorto che ho saltato un punto: ma in questo caso come posso calcolare la media di $Y$ ?

[tommik]

come posso calcolare la media di $Y$ ?

$mathbb{E}[Y]=mathbb{E}[|X|]+1$

[tommik]

come posso calcolare la media di $Y$ ?

$mathbb{E}[Y]=mathbb{E}[|X|]+1$

Sono per natura diffidente. Giuro di averci pensato ma non credevo la risposta fosse così banale. Pensavo ci fosse sempre qualche magagna.

Mentre ci sono, supponiamo di avere due variabili aleatorie $X$ e $Z$. Se $Z = X^2$, allora il valore atteso di $Z$ ossia
$E[Z] = E[X^2]$ corrisponde al valore quadratico medio di $X$ ?

Dovrebbe essere così, mi pare che tu me lo abbia già detto una volta.

Allo stesso modo, la varianza di una variabile aleatoria si può calcolare anche nel seguente modo:
$\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2$. Per la variabile aleatoria $Z$ indicata poc'anzi, la varianza $\sigma^2 = E(Z^2) - E(Z)^2 = E(X^4) - E(Z)^2$

con $E(X^4) = int_D x^4 f_X(x) dx$?

Inoltre, se in questo esercizio
$mathbb{E}[Y]=mathbb{E}[|X|]+1$ il valore atteso $E[|X|]$ corrisponde al valore atteso del solo triangolino a destra??

Mi scuso per le innumerevoli domande poste una dietro l'altra.

[tommik]

@rMrEngineer: non devi modificare il messaggio dopo che ho risposto "va bene" perché in tale modo si fraintende ciò che ho scritto e, se le modifiche contengono errori, mi obbliga ad intervenire.
Ho quindi cancellato entrambi i messaggi perché fuorvianti alla lettura del topic.

Ciò premesso, una volta che hai calcolato $mathbb{E}[X]=-2/9$ dovresti aver trovato

$mathbb{E}[X]=-4/9-2/9+4/9=-2/9$

Ora, senza dover rifare tutti i conti daccapo, considerando gli intervalli dove $X$ è definita, non mi pare complicato osservare che

$mathbb{E}[|X|]=4/9+2/9+4/9= 10/9$

dove ho semplicemente cambiato di segno $x$ negli intervalli in cui è negativa

il resto delle modifiche apportate ex post va bene

saluti

[MrEngineer]

Grazie mille Tommik, adesso è tutto chiaro. Ho un'ultima domanda. Qualora mi avessero richiesto di trovare l'espressione analitica della pdf della citata $Z = X^2$, avrei dovuto operare tramite trasformazione o è possibile fare un qualche ragionamento più immediato?

@rMrEngineer: non devi modificare il messaggio dopo che ho risposto "va bene" perché in tale modo si fraintende ciò che ho scritto e, se le modifiche contengono errori, mi obbliga ad intervenire.
Ho quindi cancellato entrambi i messaggi perché fuorvianti alla lettura del topic.

Lo so, per carità. In tutti i forum che ho visitato nel tempo i doppi post sono vietati, per cui quando possibile cerco di evitare di inserire due messaggi consecutivi ed edito sempre quelli precedenti. Non avevo visto il tuo messaggio di risposta al momento della modifica, altrimenti avrei inserito il nuovo messaggio dopo il tuo. Mi scuso

[CasellaJr]

Questi quesiti si risolvono senza troppi ragionamenti o calcoli....ti mostro il più "complicato"

$mathbb{P}[Y<2X]=mathbb{P}[|X|+1<2X]=mathbb{P}[|X|<2X-1]=mathbb{P}[X>1]=1/3$

(è l'area del triangolo più a destra)

Scusate se riesumo questo post, ma come mai nell'ultimo passaggio viene considerata solo P(X>1) e viene trascurata P(3X<1)?