Sistema 2eq 2variabili forse trascendente

[kyouma]

Salve a tutti, è la prima volta che scrivo in questo forum e spero di essere nella sezione corretta.
Scrivo perchè non riesco a risolvere il seguente sistema e non capisco se sono io che non vedo la soluzione o se questa proprio non esista in forma analitica.

$ \{ (x-(x^3)/3-y+a = 0), (b*( 1/(1+e^(-10*x)) -y )=0):}$

dove le variabili sono $x$ ed $y$ mentre $a$ e $b$ sono due parametri.

Pertanto le mie domande sono:
Esiste una soluzione al sistema?
Se sì: qual è?
Se no: perchè (cioè come giustifico il fatto che non la trovo)?

Grazie anticipatamente a chi vorrà aiutarmi

[gugo82]

Innanzitutto, mi sento di ringraziarti vivamente: raramente mi capita di leggere un primo post sul forum "pulito" come il tuo.
Grazie e benvenuto.

Per il resto, è abbastanza chiaro che, a meno di casi particolari (cioè a meno di valori particolari dei parametri), il sistema non si può risolvere "a mano" mediante formule note, perché le equazioni accoppiate non sembrano essere elementarmente risolubili.

Quel che si può fare è vedere per quali valori dei parametri il sistema ammette soluzione e poi lasciar, di volta in volta, il calcolo approssimato delle stesse ad un software.
L'esistenza delle soluzioni si può, in linea di principio, studiare applicando il teorema del Dini per i sistemi, un risultato che usualmente si dimostra nei corsi di Analisi II. Lo conosci?

Inoltre, nota che per $b=0$ il sistema ha sicuramente infinite soluzioni, poiché esso si riduce alla sola prima equazione (che è in due incognite).

Alla fine dei conti, però, ogni parametro $b!= 0$ non influenza la risolubilità del sistema, poiché può essere semplificato nella seconda equazione; dunque per $b!= 0$ il sistema è equivalente a:

$\{ ( y = - x^3/3 + x + a), (y = 1/(1+e^(-10x))):}$

ed è equivalente a deterinare, graficamente, i punti di intersezione del grafico di $g(x):=1/(1+e^(-10x))$ con le funzioni della famiglia di cubiche $f_a(x):= -x^3/3 + x + a$ (che differisconono da $f_0(x)=-x^3/3 + x$ per una traslazione di $a$ -verso l'alto o verso il basso a seconda del segno di $a$-).
Quindi il problema dell'esistenza può anche essere risolto per via grafica, diagrammando i grafici di $g$ e delle varie $f_a$.

[kyouma]

Grazie mille per la risposta, che quindi conferma i miei dubbi.
Ogni tanto programmo ed in generale cerco di scrivere in modo chiaro sperando di ricevere lo stesso...

Vorrei chiederti ancora un chiarimento riguardo a questa tua frase:

Quel che si può fare è vedere per quali valori dei parametri il sistema ammette soluzione e poi lasciar, di volta in volta, il calcolo approssimato delle stesse ad un software.
L'esistenza delle soluzioni si può, in linea di principio, studiare applicando il teorema del Dini per i sistemi, un risultato che usualmente si dimostra nei corsi di Analisi II. Lo conosci?

Non conosco il teorema di Dini, quindi mi farò bastare il metodo grafico .
Nel caso $ b!= 0 $ , è sensato assumere, con il metodo grafico, che almeno una soluzione esista sempre(cioè per qualsiasi valore di $a$)?
O alternativamente: con il metodo grafico é corretto dire che non vedo valori dei parametri per cui non esistano soluzioni ma solo valori per cui
- ne esiste 1 sola ( $ b!= 0 $ e $|a|>$$>0 $ )
- ne esistono molteplici ma finite ( $b!= 0 $ ed $a$ t.c. la cubica abbia flesso vicino all'origine )
- ne esistono infinite ( $ b = 0 $ )

[gugo82]

Sì, una cosa del genere.
In realtà si potrebbe pure fare uno studio delle biforcazioni, ma porterebbe via parecchio tempo.

Abbiamo già detto che $b=0$ implica che il sistema ha come soluzioni tutti i punti del grafico di qualsiasi delle funzioni $f_a(x) := -x^3/3 + x + a$ con $a in RR$.
Più interessante è lo studio di ciò che accade per $b!= 0$. In tal caso le soluzioni $(x,y)$ del sistema si ottengono graficamente intersecando il grafico della funzione $g(x) := 1/(1+e^(-10 x))$ con quelli delle funzioni della famiglia $f_a$, i quali si ottengono tutti traslando opportunamente il grafico di $f_0(x) := -x^3/3 + x$ (che è una cubica con flesso in $0$ ed estremi relativi in $+-1$).
Disegnando:

        Internet Explorer richiede Adobe SVG Viewer per visualizzare il grafico

si vede che il grafico di $g$ (in nero) è attraversato per ogni $a in RR$ dal grafico di qualche $f_a$ (in colori); in particolare:

• per $a$ tali che $|a-1/2|$ è "sufficientemente grande", l'intersezione tra i grafici è unica (guarda i grafici delle cubiche in marrone, viola, giallo e verde) e perciò il sistema ha unica soluzione;
  
  
• per $a$ tali che $|a-1/2|$ è "sufficientemente piccolo", le intersezioni tra i grafici sono cinque (guarda i grafici delle cubiche in rosso ed arancio), cosicché il sistema ha cinque soluzioni;
  
  
• nel mezzo, probabilmente, si possono trovare situazioni "intermedie" e forse il sistema può avere quattro od addirittura tre soluzioni.

[kyouma]

In realtà si potrebbe pure fare uno studio delle biforcazioni, ma porterebbe via parecchio tempo.

é proprio la richiesta che devo completare
Pensavo di iniziare trovando numericamente gli equilibri fornendo manualmente le posizione di partenza nel caso di 5 soluzioni e da lì continuare gli equilibri per $a$ fino al caso di singola intersezione.
Quando (e se) lo finirò aggiungerò i risultati per completezza.
Molte grazie per la tua disponibilità gugo82