Buonasera, vorrei assolutamente risolvere questo bloccarmi sul passaggio finale per via di non saper come formalizzare al meglio la faccenda. Ricorderete una domanda simile di qualche giorno fa, il fatto è che non si è chiusa (dopo che ho corretto una svista) e rimango col dubbio tuttora, ci ragiono da un po' e da solo non riesco.
Vorrei portare alla vostra attenzione il seguente passaggio:
$1/2*(e^((i-s)t)/(i-s)]_0^oo+e^(-(i+s)t)/(-(i+s))]_0^oo)$
che mi esce da una trasformata di Laplace $\int_0^oo cos(t)e^(-st) dt$
però il dubbio non è tanto su laplace, ma il fatto che il risultato mi viene con un integrale avente tali estremi. Di fatto si tratta di mandare al limite $t->oo$ e qui mi sorgono i dubbi su come formalizzarlo.
Prendo il numeratore del primo perché risolto quello l'altro è simile, in tale caso ho pensato di dividere: $lim_(t->oo) e^((i-s)t)=lim_(t->oo) e^(it)*e^(-st)$ sapendo che
$lim_(t->oo) e^(-st)=0$
mi riduco a (passaggio mentale poiché parliamo di infinitesima e non di zero, scrivo esplicitamente per far capire il dubbio)
$lim_(t->oo) e^(it)*0=lim_(t->oo) (cost+isint)*0$
$sint$ e $cost$ al limite per $t->oo$ non esisterebbero, però sono moltiplicati per una infinitesima (che ho scritto come 0) quindi dovrei ottenere $(0+i0) $
Ma questo passaggio è giusto? Sinceramente non mi convince.
Insomma non riesco a districarmi, vorrei capire formalmente e correttamente come si tratti questo passaggio alla fine.
Spero qualcuno abbia davvero voglia di aiutarmi , vi ringrazio.