Integrale, ho ancora un problema sugli estremi

[sgrisolo]

Buonasera, vorrei assolutamente risolvere questo bloccarmi sul passaggio finale per via di non saper come formalizzare al meglio la faccenda. Ricorderete una domanda simile di qualche giorno fa, il fatto è che non si è chiusa (dopo che ho corretto una svista) e rimango col dubbio tuttora, ci ragiono da un po' e da solo non riesco.

Vorrei portare alla vostra attenzione il seguente passaggio:


$1/2*(e^((i-s)t)/(i-s)]_0^oo+e^(-(i+s)t)/(-(i+s))]_0^oo)$

che mi esce da una trasformata di Laplace $\int_0^oo cos(t)e^(-st) dt$

però il dubbio non è tanto su laplace, ma il fatto che il risultato mi viene con un integrale avente tali estremi. Di fatto si tratta di mandare al limite $t->oo$ e qui mi sorgono i dubbi su come formalizzarlo.

Prendo il numeratore del primo perché risolto quello l'altro è simile, in tale caso ho pensato di dividere: $lim_(t->oo) e^((i-s)t)=lim_(t->oo) e^(it)*e^(-st)$ sapendo che

$lim_(t->oo) e^(-st)=0$

mi riduco a (passaggio mentale poiché parliamo di infinitesima e non di zero, scrivo esplicitamente per far capire il dubbio)

$lim_(t->oo) e^(it)*0=lim_(t->oo) (cost+isint)*0$

$sint$ e $cost$ al limite per $t->oo$ non esisterebbero, però sono moltiplicati per una infinitesima (che ho scritto come 0) quindi dovrei ottenere $(0+i0) $
Ma questo passaggio è giusto? Sinceramente non mi convince.

Insomma non riesco a districarmi, vorrei capire formalmente e correttamente come si tratti questo passaggio alla fine.
Spero qualcuno abbia davvero voglia di aiutarmi , vi ringrazio.

[dissonance]

Devi studiare il modulo. Si ha
\[
|e^{it}e^{-st}|=e^{-st}, \]
e siccome \(s>0\),
\[
\lim_{t\to \infty} e^{-st}=0.\]

[sgrisolo]

Ciao dissonance e grazie per avermi risposto.

Solo due cose: quindi quello che ho scritto è del tutto errato? E in secondo luogo, perché proprio il modulo? in teoria non dovrei fare il limite di quel complesso (non capisco perché mi devo ridurre al modulo).

[dissonance]

Perché \(f(z)\to 0\) se e solo se \(|f(z)|\to 0\), dalla definizione di limite.

Quello che hai scritto non è del tutto errato, ma la giusta formalizzazione è questa qui tramite il modulo.

[sgrisolo]

Perfetto sospettavo fosse il se e solo se del modulo della funzione nel limite. Dunque posso usarlo solo nel caso sia zero il valore finale del limite, a questo punto per l'estremo 0 (che non avràmodulo della funzione al limite pari a zero) come si svolge?

Provo a scrivere la mia, dimmi se dico ancora stupidaggini mi stai davvero dando una grande mano a riordinare le cose.
Essendo il numeratore di cui sopra:

$e^(it)*e^(st), t=0$ per il primo fattore, sapendo che $e^(i0)=(cos0+isin0)=1$

passando al 2 fattore: poiché $s=a+i\omegat$, allora

$e^(st)=e^(at)+e^(i\omegat)$ nuovamente l'esponenziale $e^(i\omegat), t=0 =>1$ e identicamente per il puramente reale $e^(a0)=1$

Dunque avrei $1*1*1=1$ a numeratore

Ho scritto esplicitamente solo per far capire i passaggi, sperando nel tuo confermare la faccenda, e finalmente dire di aver capito

[dissonance]

Mah, mica ho capito cosa stai facendo. Non avevamo detto che \(t\to \infty\)? Da dove esce \(t=0\)?

In ogni caso, mi pare che il mio post precedente sia abbastanza conclusivo, a meno che ci sia qualcosa che non ti è chiaro, nel qual caso posso provare a spiegarlo.

[sgrisolo]

No parlavo dell'estremo di integrazione inferiore che è zero

Sull'infinito ci siamo

[dissonance]

Ah. E allora non vedo nessuna difficoltà:
\[
\left.e^{(i-s)t}\right|_{t=0}=e^0=1.\]
No?

[sgrisolo]

Buon pomeriggio dissonance,

quello che mi turbava è che t=0 è uno zero reale, che moltiplica un esponente complesso, cioè per esteso:

$e^((i-(a+i\omega))0)$ quindi non me la sentivo di ridurre tutto a 0 reale l'esponente.

No? (ti rigiro il dubbio sottoformadi domanda )

Per questo avevo separato il calcolo in

Essendo il numeratore di cui sopra:

$e^(it)*e^(st), t=0$ per il primo fattore, sapendo che $e^(i0)=(cos0+isin0)=1$

passando al 2 fattore: poiché $s=a+i\omegat$, allora

$e^(st)=e^(at)+e^(i\omegat)$ nuovamente l'esponenziale $e^(i\omegat), t=0 =>1$ e identicamente per il puramente reale $e^(a0)=1$

Dunque avrei $1*1*1=1$ a numeratore

[dissonance]

Ma no, non ti preoccupare, è solo una maniera inutilmente complicata di riscrivere \(e^0=1\). Lo zero è zero, non c'è "zero reale" e "zero complesso".