Guscio sferico riempito da carica

Messaggioda IngSteve » 14/03/2019, 11:51

Buongiorno ragazzi, potreste controllare se ho svolto bene quest'esercizio? Vi mostro tutto il mio ragionamento... Il problema è:

"La distribuzione di carica mostrata in figura è costituita da un guscio sferico riempito da una carica con densità volumica a simmetria sferica e andamento $ rho=(rho_0*r)/R_1 $ $ (R_1<r<R_2) $. Determinare:

A) Il valore di $rho_0$ affinché la carica totale contenuta nel guscio sia pari a $Q$.
B) L'espressione del campo elettrostatico in tutto lo spazio.
C) il valore del potenziale elettrostatico sul guscio esterno, ossia per $r=R_2$, avendo posto come potenziale di riferimento il potenziale al centro del guscio uguale a zero.

Dati: $Q=5microC$, $R_1=2mm$, $R_2=3mm$"



Immagine



Allora, per il punto A ho svolto così:
$ dq=rho*dV -> Q=int_{R_1}^{R_2} (rho_0*r)/R_1 *4pir^2*dr=(rho_0*4pi)/R_1 int_{R_1}^{R_2} r^3*dr=(pirho_0)/R_1*(R_2^4-R_1^4) ->rho_0=(Q*R_1)/(pi*(R_2^4-R_1^4)) $

Giusto?

Poi, per B ho svolto così:

per $r<R_1$:

$ E(r)=1/(4piepsilon_0) int_0^r rho/r^2dV=1/(4piepsilon_0) int_0^r (rho_0r)/(R_1r^2)*4pir^2dr=rho_0/(epsilon_0R_1)int_0^r rdr=(rho_0r^2)/(2epsilon_0R_1) $

per $R_1<r<R_2$:

$E(r)=0$ poiché ci troviamo all'interno di un conduttore

per $r>R_2$:

$ E(r)=1/(4piepsilon_0) int_(R_2)^r rho/r^2dV=rho_0/(epsilon_0R_1)int_(R_2)^r rdr=(rho_0)/(2epsilon_0R_1)(r^2-R_2^2) $

E così ho risolto il punto B... Come ho fatto? è giusta la soluzione?

Per il punto C, se pongo $r=R_2$ risulta che il campo è pari a zero e quindi V(r) risulta essere 0... Credo sia errato...
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Re: Guscio sferico riempito da carica

Messaggioda mgrau » 14/03/2019, 12:13

IngSteve ha scritto:
Allora, per il punto A ho svolto così:
$ dq=rho*dV -> Q=int_{R_1}^{R_2} (rho_0*r)/R_1 *4pir^2*dr=(rho_0*4pi)/R_1 int_{R_1}^{R_2} r^3*dr=(pirho_0)/R_1*(R_2^4-R_1^4) ->rho_0=(Q*R_1)/(pi*(R_2^4-R_1^4)) $

Giusto?
Giusto (credo, non ho rifatto i conti)
Poi, per B ho svolto così:

per $r<R_1$:

$ E(r)=1/(4piepsilon_0) int_0^r rho/r^2dV=1/(4piepsilon_0) int_0^r (rho_0r)/(R_1r^2)*4pir^2dr=rho_0/(epsilon_0R_1)int_0^r rdr=(rho_0r^2)/(2epsilon_0R_1) $
No. All'interno del guscio il campo è zero (teorema di Gauss)
per $R_1<r<R_2$:

$E(r)=0$ poiché ci troviamo all'interno di un conduttore
No. Chi ha detto che è un conduttore? Se c'è una densità di carica volumica, di sicuro non lo è, altrimenti la carica starebbe tutta sulla superficie esterna
per $r>R_2$:

$ E(r)=1/(4piepsilon_0) int_(R_2)^r rho/r^2dV=rho_0/(epsilon_0R_1)int_(R_2)^r rdr=(rho_0)/(2epsilon_0R_1)(r^2-R_2^2) $
No. Che senso ha un valore di campo che CRESCE con la distanza? E' semplicemente $E(r) = 1/(4piepsi_0)*Q/r^2$, cioè come se tutta la carica fosse nel centro
E così ho risolto il punto B... Come ho fatto? è giusta la soluzione?

Per il punto C, se pongo $r=R_2$ risulta che il campo è pari a zero e quindi V(r) risulta essere 0... Credo sia errato...
Già... Dovresti integrare $E(r) fra $R_1$ e $R_2$
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Re: Guscio sferico riempito da carica

Messaggioda IngSteve » 14/03/2019, 12:18

Ah ok, ecco cosa sbagliavo! Il campo quindi all'interno è zero mentre tra R1 e R2 va calcolato. Ok ho capito. Grazie mille!
IngSteve
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