robertinad ha scritto:Indicare il valore assunto della funzione di densità di X in (0.5 ; 0.25) e in (0.5 ; 0,75)
il valore assunto dalla densità di $X=(X_1,X_2)$ è 2 se sei nell'area del supporto
1, zero altrimenti. Quindi dato che nei punti di coordinate $(X_1=0.5;X_2=0.25)$ e $(X_1=0.5;X_2=0.75)$ sei fuori dal triangolo in oggetto:
(cliccami per ingrandirmi)
....il valore della densità nei punti dati è zero.
robertinad ha scritto:
Stabilire se X1 E X2 sono indipendenti
no, non lo sono e lo si vede dal supporto che non è rettangolare (condizione necessaria per l'indipendenza)
robertinad ha scritto:
determinare la funzione di densità e supporto di X2 tenendo conto che X1 ha assunto valore di 0,5
Questa richiesta invece è assolutamente senza senso, essendo ovviamente $f_(X_1)(0.5)=0$. Infatti, basta prendere la seguente definizione presa da un ottimo libro di probabilità (Cifarelli, Elementi di Calcolo delle Probabilità)
Def: sia $(X,Y)$ un vettore aleatorio continuo con funzione di densità $f_(XY)(x,y)$ e funzioni di densità marginali $f_X(x), f_(Y)(y)$.
La funzione di densità condizionale di $X$ dato $Y=y$ è la funzione definita da
$f_(X|Y)(x|y)=(f_(XY)(x,y))/(f_Y(y))" ; "f_(Y)(y)>0$
...per concludere senza ombra di smentita che la densità condizionata richiesta
non è definita.
Visto che la richiesta in questione è assolutamente insensata (non so se per un refuso di copiatura delll'OP o di stampa del prof) proviamo a rendere l'esercizio interessante. Innanzitutto poniamo il vettore $(X,Y)$ in modo da semplificare la notazione (evitando i pedici) e riformuliamo la seguente
robertinad ha scritto:determinare la probabilità che $Y<=1/4$ tenendo conto che $X$ ha assunto valore di $3/2$
partiamo dalla definizione della densità uniforme della traccia:
$f_(XY)(x,y)={{: ( 2 , ;(x,y)in mathcal(D)),( 0 , ;" altrove" ) :}$
dove, come nel caso della traccia iniziale $mathcal(D)={(x,y) in RR^2:1<X<2,0<Y<X-1}$
...e proviamo a calcolare $mathbb{P}[Y<=1/4|X=3/2]$
Il primo approccio è sfruttando la definizione di probabilità condizionata (poniamo $0<=epsilon<=1/4$):
$mathbb{P}[Y<=1/4|X=3/2]=(2int_(0)^(1/4)dyint_(3/2-epsilon)^(3/2+epsilon)dx)/(int_(3/2-epsilon)^(3/2+epsilon)2(x-1)dx)=epsilon/(6epsilon-4epsilon)=1/2$
Il secondo e più naturale approccio consiste nell'integrare direttamente la densità condizionata
$int_(0)^(1/4)f_(Y|X)(y|x)dy$ dato $X=3/2$ ottenedo subito
$1/(x-1)int_(0)^(1/4)dy=1/(3/2-1)1/4=1/2$
cvd.....