ho incontrato in molti testi di fisica ed ingegneria l'oggetto matematico delle distribuzioni con tutta la teoria annessa (formulazione debole, funzioni di green...) tuttavia non ho mai avuto all'università un vero e proprio corso di matematica che trattasse nel dettaglio l'argomento. Ultimamente mi sono messo un po' a studiare la teoria delle distribuzioni sulle delle dispense di un mio vecchio professore. Non sono sceso molto nel dettaglio per ora, ma sicuramente hanno fatto chiarezza, ma hanno portato anche tante confusione: soprattuto per quanto riguarda la notazione. Prenderò come esempio quello della delta di Dirac perché il caso "particolare" che più si incontra nelle discipline ingegneristiche e fisiche.
Innanzi tutto le distribuzioni (da quello che ho capito) sono funzionali lineari continui, quindi sono operatori. In particolare la $delta$ di Dirac dovrebbe essere una misura. Ora la delta di Dirac è definita, almeno sulle mie dispense, come
$\delta : D(R) \rightarrow R$
$\delta : \phi \rightarrow \phi(0)$
E quindi $< \delta, \phi > = \phi(0)$. Mi spiegate perché nei libri non di matematica si trova sempre $\int \delta(x)f(x)dx = f(0)$ ?? Secondo me non ha senso come scrittura...
Tuttavia ho notato quest'altra cosa invece:
$f(x_0) = f(x) \delta(x-x_0)$
Questa cosa ha perfettamente senso. Adesso immaginiamo di ripetere il procedimento per $x_1$, $x_2$ ecc... in questo modo troverò $f(x_1)$, $f(x_2)$, ecc... A questo punto mi verrebbe *intuitivamente* da scrivere:
$f(x) = \int f(x') \delta(x-x')dx'$
Però non mi torna nemmeno troppo.
Gradirei imparare a gestire la notazione con l'integrale perché in tutti i libri che uso viene usate ed anche perché, a mio avviso, è più comoda (nel senso che uno la usa senza sapere troppo la teoria e i risultati escono lo stesso... almeno per quello che se ne fai nei corsi di ingegneria o fisica).
Grazie in anticipo.
EDIT:
dRic ha scritto:A questo punto mi verrebbe *intuitivamente* da scrivere:
$f(x) = \int f(x') \delta(x-x')dx'$
Ma ora che ci penso neanche troppo... anzi $f(x) = f(x')\delta(x-x') \forall x$ dovrebbe andare più che bene credo...