Se $f$ è propria tale è anche $df$

Messaggioda fmnq » 16/03/2019, 20:53

Il differenziale di una mappa propria tra varietà, è a sua volta una mappa propria?

Motivazione per questa domanda è un'altra domanda: la compattificazione di Alexandrov di un diffeomorfismo $C^1$ tra varietà induce o no un diffeomorfismo tra le compattificazioni? Per poter indurre un omomorfismo $\bar f : \bar X \to \bar Y$ tra le compattificazioni di $X,Y$ bisogna che $f$ sia una mappa propria. Ma non ho idea se, quando $f$ è un diffeo tra varietà, anche $\bar f$ sia un diffeo della stessa regolarità di $f$ (è chiaramente un omeomorfismo, perché? La cosa non banale è che sia $C^1$).
fmnq
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Re: Se $f$ è propria tale è anche $df$

Messaggioda dissonance » 17/03/2019, 13:40

Il differenziale di \(x^2\) (una mappa propria di \(\mathbb R\to \mathbb R\)) è la mappa
\[
(x, v)\in \mathbb R\times \mathbb R \mapsto (x^2, 2xv)\in\mathbb R\times \mathbb R.\]
Questa è una mappa propria...? Buh. Forse no.
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Re: Se $f$ è propria tale è anche $df$

Messaggioda dissonance » 18/03/2019, 12:59

Il differenziale di \(f\colon \mathbb R\to \mathbb R\), \(f(x)=x^2\) non è una mappa propria, quindi la risposta alla domanda originale è negativa. Dimostrazione: identificando \(T\mathbb R\) con \(\mathbb R\times \mathbb R\), tale differenziale è dato dalla mappa
\[
(x, v)\in \mathbb R^2\mapsto (x^2, 2xv)\in \mathbb R^2.\]
Questa mappa non è propria, perché la retta \((x, v)=(0, \lambda)\), \(\lambda\in\mathbb R\), è contenuta nella controimmagine del compatto \([0, 1]^2\). Perciò, tale controimmagine non è compatta.
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