Coefficienti Fourier modulo coseno

Messaggioda enna » 15/03/2019, 17:36

devo Trovare i coefficienti di Fourier del segnale $ x(t) = |A \cos{ ( 2 \pi f_0 t )} | $. Credo di aver trovato che , senza il modulo , il coefficiente ( per $k=1$ ) sarà $A/2$. Ammesso che sia giusto ora al però non so come comportarmi con lo stesso segnale con il modulo :oops:
enna
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 6 di 10
Iscritto il: 04/10/2018, 17:39

Re: Coefficienti Fourier modulo coseno

Messaggioda mide » 16/03/2019, 16:51

Ciao,
comincia con il graficare la funzione e confrontala con quella senza il modulo.
mide
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 134 di 159
Iscritto il: 28/01/2017, 00:08

Re: Coefficienti Fourier modulo coseno

Messaggioda enna » 17/03/2019, 01:57

Per fare il grafico prendo la funzione coseno, che normalmente ha un periodo di 2 pi. In questo caso il periodo è di T0/2 quindi la funzione si ‘ ripeterà ‘ ogni T0/2. Inoltre, a differenza del normale coseno , non avrò una altezza 1 ma pari ad A. Questa sarebbe la funzione senza il modulo. Per fare il grafico della stessa funzione , ma con il modulo , prendo tutte le parti del grafico della funzione senza il modulo e le ribalto rispetto all’asse delle x. Si dovrebbe trattare di un raddrizzatore a doppia semionda, quindi tutte le parti negative del grafico di partenza diventerebbero positive.
enna
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 7 di 10
Iscritto il: 04/10/2018, 17:39

Re: Coefficienti Fourier modulo coseno

Messaggioda mide » 17/03/2019, 11:26

bene, quindi una volta capito come è fatta la funzione, si tratta di risolvere l'integrale per trovare i coefficienti. Devi fare attenzione solo all'intervallo di integrazione e alla frequenza fondamentale ma per il resto credo basti trasformare il coseno in esponenziali e risolvere.

enna ha scritto:prendo tutte le parti del grafico della funzione senza il modulo e le ribalto rispetto all’asse delle x.

Questa frase è un po' imprecisa perchè quando dici "ribalto rispetto all'asse x" io capisco che da $f(x)$ passi a $-f(x)$. Mentre il modulo fa una cosa diversa. Comunque da quello che hai scritto dopo, sembra che tu abbia capito come è fatta la funzione.
mide
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 135 di 159
Iscritto il: 28/01/2017, 00:08

Re: Coefficienti Fourier modulo coseno

Messaggioda enna » 17/03/2019, 17:31

Ora applico la definizione per cercare i coefficienti di Fourier
\( \displaystyle a_n=\frac 1T\int_{0}^L|A \cos ( 2 \pi f_0 t ) |\cos\left(\frac{n\pi}Tt\right)\mathrm dt\ \)

Dove n sta per il numero di volte che la ‘parte’ della funzione che sto considerando si ripete, dato che e’ periodica.

Ora dovrò calcolare l’integrale da -T/4 a 0 e da 0 a T/4 ?
enna
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 8 di 10
Iscritto il: 04/10/2018, 17:39

Re: Coefficienti Fourier modulo coseno

Messaggioda mide » 18/03/2019, 11:36

enna ha scritto:Ora dovrò calcolare l’integrale da -T/4 a 0 e da 0 a T/4 ?

Si ma puoi fare direttamente da $-T/4$ a $T/4$ dato che il coseno è pari ed è positivo in quell'intervallo
mide
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 136 di 159
Iscritto il: 28/01/2017, 00:08

Re: Coefficienti Fourier modulo coseno

Messaggioda enna » 18/03/2019, 14:45

\( \displaystyle a_n=\frac 1T\int_{\frac{-T}{4}}^\frac{T}{4}|A \cos ( 2 \pi f_0 t ) |\cos\left(\frac{n\pi}Tt\right)\mathrm dt\ \)
Questo dovrebbe diventare \( \displaystyle a_n=\frac {2|A|}{T_0}\int_{\frac{-T}{4}}^\frac{T}{4}| \cos ( 2 \pi f_0 t ) |\cos\left(\frac{2n\pi}T_0t\right)\mathrm dt\ \) dato che il periodo T della funzione E’ T_0/2

Ora applico le formule di eulero per trasformare I coseni in esponenziali ed ottengo

\( \displaystyle a_n=\frac {2|A|}{T_0}\int_{\frac{-T}{4}}^\frac{T}{4}| \frac{e^{2i\pi f_0 t } + e^{-2i\pi f_0 t} }{2 } | \frac{{e^{\frac{2in\pi t }{T_0}}}+ e^{{\frac{-2in\pi t }{T_0}}}}{2} dt\ \)

Porto fuori il 2 a denominatore e lo semplifico poi svolgendo le moltiplicazioni degli esponenziali ottengo


\( \displaystyle a_n=\frac {|A|}{T_0}[[\frac{ e^{ \frac {2i\pi t(f_0 T_0 + n)} {T_0} } }{2i\pi f_0 T_0 + 2i n \pi} + [\frac{ e^{ \frac {2i\pi t(f_0 T_0 - n)} {T_0} } }{2i\pi f_0 T_0 - 2i n \pi} - [\frac{ e^{ \frac {- 2i\pi t(f_0 T_0 - n)} {T_0} } }{2i\pi f_0 T_0 - 2i n \pi} ] + [\frac{ e^{ \frac {-2i\pi t(f_0 T_0 - n)} {T_0} } }{-2i\pi f_0 T_0 - 2i n \pi}]] \) in questo caso la parentesi quadra doveva passare sempre dai valori T/4 a - T/4 ma questo non sapevo come scriverlo nella formula in LaTex :oops:

Ammesso che quello che ho scritto abbia un senso, ora non saprei proprio come andare avanti se non andando a sostituire I valori Delle parentesi quadre alle T
enna
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 9 di 10
Iscritto il: 04/10/2018, 17:39

Re: Coefficienti Fourier modulo coseno

Messaggioda mide » 18/03/2019, 16:31

allora, non ho svolto i calcoli ma ad occhio dovresti esserci, a parte alcune imprecisioni.
Comunuque a questo punto non ti resta che sostituire $t$ con gli estremi di integrazione. Inoltre ricordati quanto fa $f_0T_0$.
mide
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 137 di 159
Iscritto il: 28/01/2017, 00:08

Re: Coefficienti Fourier modulo coseno

Messaggioda enna » 19/03/2019, 12:52

Grazie mille ! Al momento ancora non mi viene ma almeno mi sono avvicinata alla soluzione :) quindi ora continuerò a sbatterci la testa finché non avrò corretto gli errori
enna
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 10 di 10
Iscritto il: 04/10/2018, 17:39

Re: Coefficienti Fourier modulo coseno

Messaggioda mide » 19/03/2019, 15:19

ok bene! Tieni conto che la soluzione finale a volte si trova con una manipolazione algebrica di quella diretta. Per farla breve non è detto che la formula che ottieni sia sbagliata ma magari è solo riscritta in un altro modo.
mide
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 138 di 159
Iscritto il: 28/01/2017, 00:08


Torna a Ingegneria

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 21 ospiti