Moto di un grave, legato a un filo, in un piano verticale

[Shackle]

Vista la recente discussione, finita male e saggiamente bloccata dal moderatore, e siccome abbiamo parlato tantissime volte del problema in oggetto , con tanti disegni e calcoli, apro questo topic nella speranza di fare luce, per gli studenti interessati , sugli aspetti più importanti di questo moto ; si suppone di avere un grave, per esempio una pietra legata ad un filo, che viene messa in rotazione in un piano verticale tenendo il capo libero del filo in mano. La lunghezza del filo $l$ è ovviamente costante, quindi la traiettoria eè una circonferenza. La figura è la seguente , presa da Wikipedia :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Si chiedono due cose:

1) con quale velocità minima il grave deve arrivare nel punto più alto in modo che il filo non si afflosci, e quindi il grave rimanga sulla circonferenza; perciò, visto che spostandosi verso l’alto una parte dell’energia cinetica diventa potenziale, la cinetica diminuisce, vuol dire che nel punto più basso la velocità impressa dovrà essere maggiore.

2) se la velocità impressa al grave nel punto più basso è superiore a quella prima trovata, il grave arriva in alto con velocità superiore alla minima, e il filo rimane sicuramente teso: quanto vale la tensione nel filo , nelle due posizioni estreme dette ? Come sono correlate tra loro ? Qui c’è un indizio, il filo rimane sempre teso , dunque esercita sempre la sua “reazione vincolare” sul grave...

Per aiutare gli studenti alle prime armi, che non volessero scervellarsi, metto pure la soluzione, presa da un bel sito americano:

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hb ... rvert.html

Adesso però ho da proporre un altro esercizio, analogo ma più difficile, trovato sul libro di Bruno Finzi, gran professore di fisica e MR del secolo scorso. Questo è il testo:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Bisogna star attenti , sembra uguale a quello di prima ma non lo è . Questo esercizio prescinde dal ''valore minimo" che deve avere la velocità nel punto più alto della circonferenza affinché il filo non si afflosci. Chiede invece "per quali intervalli di velocità" il grave rimane sulla circonferenza ; l'ultima frase costituisce l'indizio fondamentale per la soluzione.

Vorrei pregare quelli bravi di astenersi per ora dal rispondere, lasciamo che Galles e quelli come lui ci provino!

[Shackle]

Visto che nessuno ci ha provato, scrivo io la risposta.
Abbiamo detto in un altro esercizio che, affinché il grave non abbandoni la circonferenza nel punto più alto, la velocità in questo punto deve essere almeno uguale a : $v = sqrt(gl) $ . Questa condizione si ricava scrivendo la seconda eq della dinamica :

$mvecg + vecT = mveca$

che, nel punto più alto della circonferenza, proiettata sulla direzione radiale orientata verso il centro, dà :

$mg +T = ma = mv^2/l$

dopo di che , la condizione di minima velocità si ottiene ponendo uguale a zero la tensione del filo, che perciò è disteso ma non teso :

$mg = mv^2/l \rarr v= sqrt (gl)$

Dunque, la velocità iniziale $v_0$ da imprimere nel punto più basso , dovendo valere il principio della conservazione dell'energia, dovrà soddisfare la condizione :

$1/2mv_0^2 = mg*2l + 1/2mv^2 = mg*2l + 1/2mgl \rarr v_0^2 = 5gl \rarr v_0 = sqrt(5gl) $

Per velocità iniziali superiori a questa, il filo rimane sempre teso . E per velocità inferiori ? Ci sarà un punto in cui il grave , annullandosi la tensione nel filo , abbandona la circonferenza . Avete mai fatto un'esperienza pratica?
Qual è la condizione fisica per cui il filo non si affloscia? È che esso eserciti sempre una tensione sull'oggetto, cioè che la tensione $vecT$ proiettata sulla direzione radiale orientata verso il centro sia positiva.

Detto $theta$ l'angolo tra filo e verticale discendente , deve essere , come fatto vedere in altro post :

$T -mgcostheta = mv^2/l \rarr T = mv^2/l + mgcostheta$

per la conservazione dell'energia tra il punto più basso in cui la velocità iniziale è $v_0$ e un punto in cui la velocità è $v<v_0$ , deve essere :

$v^2 = v_0^2 -2gl(1-costheta ) = v_0^2 + 2gl(costheta-1)$

sostituendo questa espressione di $v^2$ nell'espressione di $T$ prima scritta , dopo alcuni passaggi si ha :

$T = m (v_0^2/l -2g +3gcostheta) $

pertanto, si avrà sempre $T>=0$ quando : $v_0^2-2gl +3glcostheta >=0$

ovvero : $costheta >= (2gl-v_0^2)/(3gl) $.

Considerando l'angolo conteggiato da un solo lato della verticale discendente (è banale che può essere conteggiato anche simmetricamente rispetto alla verticale, il che significa anche invertire la direzione di $vecv_0$ ) , si ha :

$costheta >=0 $ quando $v_0 <=sqrt(2gl) $ ( trattandosi di una disequazione di 2º grado, $v_0$ deve essere interno all'intervallo delle radici dell'equazione algebrica associata (spero di ricordare bene!) ; ma solo la prima detta ha significato fisico, prendiamo in esame solo questa) .

In questa ipotesi, il pendolo oscilla attorno alla posizione di equilibrio stabile , che è il punto più basso della circonferenza , e il grave non abbandona sicuramente mai la stessa, e non varca le posizioni a cui corrisponde $costheta = 0 $ , cioè le due posizioni a $90º $ rispetto alla verticale, sull'orizzontale passante per il centro .

Se invece : $sqrt(2gl) <v_0 < sqrt(5gl) $ , il $costheta$ può assumere valori negativi, il grave può varcare le due posizioni a $90º$ e può essere $T<0$ . Perciò il grave, una volta varcata una delle due posizioni a $90º$ , abbandona poi la circonferenza.
In definitiva, affinché il grave non abbandoni mai la circonferenza deve essere : $v_0 <=sqrt(2gl) $ , ovvero ( come visto in precedenza) : $v_0>=sqrt(5gl) $ . Nel primo caso , il grave percorre un arco di circonferenza attorno alla posizione di equilibrio stabile ; nel secondo caso la percorre tutta.