Si, scordiamoci del teorema ponte "per il momento".
dissonance ha scritto:Aggiungo che, nel primo post, a un certo punto arrivi alla disuguaglianza
\[ \left\lvert \frac{\sin x}{x}-1\right\rvert\le 0, \]
che dovrebbe farti suonare un campanello di allarme; un valore assoluto può essere minore o uguale a zero se e solo se il suo argomento è zero. Un errore così può essere valutato molto negativamente ad un esame; attenzione.
la relazione suddetta è falsa, ovvio, era lo scopo per arrivare all'assurdo, ma risulta nello stesso tempo errata anche il modo in cui me la sono ricavata, perchè avevo supposto:
$forall x in mathbb{R}$, $|sinx/x-1| le |x/x-1|=|1-1|=0$
se non è cosi c'è qualcosa che non mi è chiaro.
Provo prima con una funzione più semplice, per indivuduare qualora ci fosse, l'errore :
considero $lim_(x to 0) sinx=0$
suppongo per assurdo che non sia cosi, quindi,
$exists epsilon_0>0, forall delta>0 : exists x in (-delta,+delta)$ in modo che si abbia $|sinx| ge epsilon_0$.
$|sinx| ge epsilon_0$ implica che $sinx le -epsilon_0 vee sinx ge epsilon_0$.
Considerando le soluzioni in $[0,2pi]$, ed $epsilon_0>0$ ottengo:
$sinx le -epsilon_0$
$sin^-1(-epsilon_0)=a to [pi+a le x le 2pi-a]=I'$
$sinx ge epsilon_0$
$sin^-1(epsilon_0)=b to [ble x le pi-b]=I'' $
A questo punto non so come procedere, dovrei prendere l'intervallo minore tra $I'$ e $I''$ ?