da gugo82 » 21/03/2019, 08:38
Nì…
Il problema è che se parti da $2(n+1) <= 2^(n+1)$ sembra tu stia assumendo già vera la tesi, e ciò è male.
Una linea di ragionamento corretta è la seguente.
- Innanzitutto, osserviamo che la disuguaglianza $2n <= 2^n$ è vera per $n=0$ ed $n=1$, poiché sostituendo si trova:
\[
\begin{split}
n=0\quad \to \quad 2\cdot 0 = 0 &\leq 1 =2^0 \\
n=1 \quad \to \quad 2\cdot 1 = 2 &\leq 2 =2^1\; .
\end{split}
\]
Questa è una buona base per l’induzione.
- Ci rimane da dimostrare il passo induttivo, cioè da provare che se la disuguaglianza $2n <= 2^n$ è vera per un certo $n>=1$ (questa è l’ipotesi induttiva) allora essa è vera pure per $n+1$, cioè risulta $2(n+1) <= 2^(n+1)$ (questa è la tesi induttiva).
Partendo da $2^(n+1)$ e sfruttando le proprietà delle potenze e l’ipotesi induttiva troviamo:
\begin{align*}
2^{n+1} &= 2 \cdot \underbrace{2^n}_{\geq 2n} & & \text{(proprietà delle potenze)} \\
&\geq 2\cdot 2n & & \text{(per ipotesi induttiva e proprietà di } \geq \text{)} \\
&= 2n + \underbrace{2n}_{\geq 2} & & \text{(per definizione del “doppio”)} \\
&\geq 2n + 2 & & \text{(perché } n \geq 1 \Rightarrow 2n \geq 2 \text{ e proprietà di } \geq \text{)} \\
&= 2(n+1) & & \text{(per raccoglimento a fattore comune)}\; ,
\end{align*}
cosicché, tralasciando i passaggi intermedi e leggendo dal basso verso l’alto, abbiamo $2(n+1) <= 2^(n+1)$ che è la tesi.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)