Residuo all'infinito

[harperf]

Continuo ad avere problemi con i punti all'infinito, in particolare non mi torna qualcosa riguardo al residuo. Ho visto anche la nuova guida di gugo che è ottima e mi ha chiarito diversi dubbi esistenziali.

La definizione è:

Si dice residuo del punto all'infinito $-1/(2pii)\int_(\gamma) f(z) dz$

il professore ha poi precisato che sarebbe il coefficiente dello sviluppo di Laurent (o Taylor) della potenza -1 cambiato di segno, in simboli:
$\sum_(k=-oo)^(oo) a_kz^k$ cioè sarebbe il residuo il valore $-a_(-1)$

Tuttavia vi sono funzioni, ad esempio: $f(z)=1/(z-a), a≠0$, che mi creano problemi...
lo sviluppo in z=0 è: $-1/a\sum_(k=0)^(oo)(z/a)^k$ ma in questo caso non vale $-a_(-1)$ giusto? In buona sostanza la parte nel quote del prof. vale solo se lo sviluppo $\sum_(k=-oo)^(oo) a_kz^k$ converge a infinito, se no mi pare insensata tutta questa cosa.

Buona serata

[Euclidino]

Il professore ha poi precisato che sarebbe il coefficiente dello sviluppo di Laurent (o Taylor) della potenza -1 cambiato di segno, in simboli:
$\sum_(k=-oo)^(oo) a_kz^k$ cioè sarebbe il residuo il valore $-a_(-1)$

Tuttavia vi sono funzioni, ad esempio: $f(z)=1/(z-a), a≠0$, che mi creano problemi...
lo sviluppo in z=0 è: $-1/a\sum_(k=0)^(oo)(z/a)^k$ ma in questo caso non vale $-a_(-1)$ giusto? In buona sostanza la parte nel quote del prof. vale solo se lo sviluppo $\sum_(k=-oo)^(oo) a_kz^k$ converge a infinito, se no mi pare insensata tutta questa cosa.

Hai ragione. Lo sviluppo deve convergere. Qui abbiamo, in un interno dell'infinito: $1/(z-a)=\sum {a^n}/{z^{n+1}}$ e il residuo $=-a_{-1}=-1$.

[harperf]

Ciao euclidino, grazie per la conferma. Siccome sono abbastanza tonto volevo chiederti come avessi ottenuto:

1)
$1/(z-a)=\sum {a^n}/{z^{n+1}}$

Hai sviluppato: $f(z=1/t)=\sum_(k>=0)a^kt^(k+1)=t+at^2+a^2t^3...$ e apportato la sosttuzione inversa $t=1/z$, cioé:
$f(z)=\sum_(k>=0)a^k/z^(k+1)=1/z+a1/z^2+a^21/z^3...$ gusto?
-----------------
2)
Chiarito questo mi viene un altro dubbio: ma se sostituissi per sviluppare a infinito, anziché: $t=1/z$ il valore $t=1/(z-a)$ e calcolassi t in zero, avrei: $f(a+1/t)=t$ cioé in pratica lo sviluppo sarebbe $a_(-1)=1/(z-a)$


In pratica mi sembra che valgano sia le sostituzioni $t=1/z$ che $t=1/(z-a)$ (una sorta di traslazione) per sviluppare a infinito

Grazie per i due chiarimenti

[pilloeffe]

Ciao harperf,

Mi pare che tu la stia facendo più complicata di quello che è, perché nell'intorno in questione semplicemente si ha:

$ 1/(z-a) = 1/(z(1 - a/z)) = 1/z \sum (a/z)^n = \sum {a^n}/{z^{n+1}} $

[harperf]

Ciao pilloeffe,

il problema è che procedere così mi pare formalmente errato, intendo dire: in $z=oo$ non è un punto reale, per questo credo si faccia la sostituzione $z=1/t$ (e la storia della sfera di riemann), ovviamente sono d'accordo funzioni a conti fatti fare come suggerisci, tuttavia io chiedevo se a livello logico si svolgesse come nel mio ultimo post nel punto 1) . Poi per i conti agirei come fatto tu.

Mentre del punto 2? Non riesco a capire se sia sbagliato o meno.

Buona giornata ragazi

[dissonance]

Si però bisogna cambiare variabile in \(f(z)dz\), non solo in \(f(z)\). Si pone \(z=1/w\), cosicché \(dz=-dw/w^2\), e si studia
\[
-\frac{f(1/w)}{w^2}\, dw, \]
in un intorno di \(w=0\).

[harperf]

Ciao dissonance,

sì certo si può fare così. Ma in realtà è identico a fare (dopo aver riprostinato t->z)

il professore ha poi precisato che sarebbe il coefficiente dello sviluppo di Laurent (o Taylor) della potenza -1 cambiato di segno, in simboli:
$\sum_(k=-oo)^(oo) a_kz^k$ cioè sarebbe il residuo il valore $-a_(-1)$

sbaglio?

O si calcola il residuo con la definizione solita e non si cambia il segno, ma si introduce lo jacobiano... oppure si definisce in modo diverso come nel quote.
-------------
Se quanto ho detto non sono solo cavolate,mi chiedo però il punto 2), sostituire in quel modo cosa comporterebbe

2)
Chiarito questo mi viene un altro dubbio: ma se sostituissi per sviluppare a infinito, anziché: $t=1/z$ il valore $t=1/(z-a)$ e calcolassi t in zero, avrei: $f(a+1/t)=t$ cioé in pratica lo sviluppo sarebbe $a_(-1)=1/(z-a)$


In pratica mi sembra che valgano sia le sostituzioni $t=1/z$ che $t=1/(z-a)$ (una sorta di traslazione) per sviluppare a infinito

Grazie per i due chiarimenti

[EDIT]
Ho trovato, peraltro, proprio ora un esercizio che capita a fagiuolo:

Discutere le proprieta di analiticit`a al finito e all’infinito della funzione
$f(z)=(z-b)^nsin(1/(z-b))$
con $b$ nei complessi e $n$ negli interi

Sepotessi apportare la sostituzione di cui parlavo sarebbe facilissimo, se sostituissi $z=1/t$ è più un pasticcio.

[Euclidino]

1) Ho ottenuto $1/{z-a} = \sum_{k \ge 0} {a^n}/{z^{n+1}}$ come ha fatto pilloeffe. Ma puoi anche porre $t=1/z$.
2) Puoi anche porre $t=1/{z-a}$, ma come ha detto dissonance :
$\int f(z) dz = - \int f(a+1/t) 1/{t^2} dt$
e il residuo di - $f(a+1/t) 1/{t^2} = -1/t$ per $t=0$ è $-1$.

[harperf]

Grazie

[gugo82]

Ho trovato, peraltro, proprio ora un esercizio che capita a fagiuolo:

Discutere le proprieta di analiticit`a al finito e all’infinito della funzione
$f(z)=(z-b)^nsin(1/(z-b))$
con $b$ nei complessi e $n$ negli interi

Semplice… Serve conoscere Analisi I per risolvere l’esercizio.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

La funzione è definita in $Omega := CC \setminus \{ b\}$ ed ivi olomorfa.

Gli unici punti singolari isolati sono $b$ e $oo$.
Il punto $b$ è una singolarità essenziale, dato che lo sviluppo in serie di Laurent di $f$ centrato in $b$ contiene infinite potenze di $1/(z-b)$.
In $oo$ abbiamo:
\[
\lim_{z \to \infty} f(z) = \lim_{z \to \infty} (z-b)^{n-1} = \begin{cases} 0 &\text{, se } n < 1 \\ 1 &\text{, se } n=1 \\ \infty &\text{, se } n > 1 \end{cases}
\]
cosicché il punto all’infinito è una singolarità eliminabile se $n<=1$ ed è un polo d’ordine $n-1$ se $n>1$.