Calcolo del valore atteso condizionato della somma di due variabili aleatorie uniformi

[giulyB]

Ciao a tutti! Ho un piccolo problema di calcolo del valore atteso condizionato di due variabili aleatorie.

Nello specifico date due variabili aleatorie \(x \sim \mathcal{U} ([0,4])\) e \(w \sim \mathcal{U} ([-1,1])\) indipendenti tra loro, determinare il valore atteso \(\mathbb{E}[x|y]\) dove \(y = x+w \).


Allora devo trovare \(\mathbb{E}[x|y] = \int x f_{x|y} (x|y)dx\) e per far ciò devo trovare \(f_{x|y} (x|y) \). Applico pertanto la formula \(\ f_{x|y} (x|y) = \frac{f_{y|x} (y|x) f_{x}(x)}{f_{y}(y)}\).


Il primo problema si verifica quando calcolo \(f_{y}(y) \) perchè se vado ad integrare sul dominio (\(-1\leqslant y \leqslant 5)\) trovo \(8 \) e non \(1 \). Il valore della densità che ho trovato è \( f_{y}(y) = \begin{equation}
\begin{cases}
y+1 \;\;\;\;\;\;\;-1\leqslant y \leqslant 1 \\2 \;\;\;\;\;\;\; 1\leqslant y \leqslant 3\\5-y \;\;\;\;\;\;\; 3\leqslant y \leqslant 5
\end{cases}
\end{equation}\)


E seconda cosa volevo chiedere se esiste un metodo semplice per applicare la formula di \(f_{x|y} (x|y) \) perchè se inizio a fare tutti i casi al variare di \(x \) e \(y \) ho paura di dimenticare qualcosa per strada.


Grazie mille!

[tommik]

Ho riscritto il messaggio di ieri dopo aver ben rivisto tutti i tuoi calcoli, anche se le mie conclusioni non cambiano.

La strada che hai intrapreso è corretta ma non mi pare percorribile con facilità. La densità della somma $(X+W)$ che hai calcolato è corretta .....hai semplicemente dimenticato di moltiplicarla per la densità congiunta $f_(XW)(x,w)=1/8$...fai così e vedi che tutto torna (hai anche messo qualche disuguaglianza forte di troppo...).

Purtroppo ora dovrai calcolare la distribuzione congiunta $(X,X+W)$ che si può fare con il metodo dello jacobiano ecc ecc.....

Io non faccio il professore di mestiere ma con un semplice ragionamento¹ mi risulta $mathbb{E}[X|X+W]=2-3/4w$ con $w in[-1;1]$

...e mi pare un risultato decisamente sensato.

PS: sarebbe meglio indicare la variabile con la lettera maiuscola e riservare la minuscola per i valori che la variabile può assumere, in modo da non creare confusione.

Puoi provare anche questo, appena inventato con gli stessi dati del tuo problema. Prendendo la stessa variabile $W$, uniforme in $[-1;1]$ definiamo la nuova variabile $Y=W^2$ e ci proponiamo di calcolare

$mathbb{E}[Y|W]$

$mathbb{E}[W|Y]$

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Note

1. Considera che
   
   
   $f(x|a<X<b)={{: ( 1/(F(b)-F(a))f(x) , ;a<x<b),(0 , ;" altrove" ) :}$
   
   
   ..quindi la densità condizionata è ancora uniforme sull'intervallo che condiziona, la media di una uniforme è nota... ↑

[giulyB]

Grazie mille adesso mi è tutto più chiaro.