da Bremen000 » 25/03/2019, 19:25
Inoltre ho trovato sul libro di Kuhnel che la definizione corretta dovrebbe essere
\[ \nabla ^ N f (X_1, \dots, X_N) = \nabla_{X_1} \nabla^{N-1} (X_2, \dots, X_N) - \sum_{i=1}^N \nabla ^{N-1} f (X_2, \dots, \nabla_{X_1} X_i, \dots, X_N) \]
ma questa non combacia con quanto detto perché sebbene io sia sicuro che
\[ \nabla^2 f (X,Y) = \langle \nabla_X \text{grad}{f}, Y \rangle \]
ottengo
\begin{align*}
\nabla^3 f (X,Y,Z ) & \overset{\text{def}}{=} \nabla_X \nabla^2 f(Y,Z) - \nabla^2 f ( \nabla_X Y, Z) - \nabla^2 f ( Y, \nabla_X Z) \\
& = X \biggl ( \langle \nabla_Y \text{grad}{f}, Z \rangle \biggr ) - \nabla^2 f ( Z, \nabla_X Y), \rangle - \langle \nabla_Y \text{grad}{f}, \nabla_X Z \rangle \\
& = \langle \nabla_X \nabla_Y \text{grad}{f}, Z \rangle + \langle \nabla_Y \text{grad}{f}, \nabla_X Z \rangle - \langle \nabla_Z \text{grad}{f}, \nabla_X Y \rangle - \langle \nabla_Y \text{grad}{f}, \nabla_X Z \rangle \\
& = \langle \nabla_X \nabla_Y \text{grad}{f}, Z \rangle - \langle \nabla_Z \text{grad}{f}, \nabla_X Y \rangle \\
\end{align*}
Cosa sbaglio?
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)