[Teoria dei Segnali] Spettro bilatero del prodotto di due segnali

Messaggioda oStile17 » 24/03/2019, 13:42

Ciao ragazzi! :smt026

Devo calcolare e disegnare il grafico dello spettro bilatero della funzione $ x(t)=e^(-kt)*u(t) $

Dalla trasformata di Fourier so che la trasformata di un prodotto è uguale al prodotto di convoluzione delle trasformate, ovvero: $ int_(-oo )^(+oo ) (k/(1+j2pi lambda))*1/2delta (f-lambda)+1/(j2pi(f-lambda)) dlambda $

Come lo risolvo? C'è un metodo che mi eviti di calcolare l'integrale? Anche perché non so che valore dovrei dare a $lambda$

Nella soluzione ho $ X(f)=1/(k+j2pif) $

E inoltre, come lo grafico?

Grazie mille ^^
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Re: [Teoria dei Segnali] Spettro bilatero del prodotto di due segnali

Messaggioda Exodus » 24/03/2019, 21:50

Senza passare per la convoluzione, è un integrale abbastanza banale:

\(\int_{0}^{\infty }e^{-kt}e^{-j\omega t}dt=\frac{1}{k+j\omega }\)

:smt023
Exodus
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Re: [Teoria dei Segnali] Spettro bilatero del prodotto di due segnali

Messaggioda oStile17 » 25/03/2019, 11:29

Exodus ha scritto:Senza passare per la convoluzione, è un integrale abbastanza banale:

\(\int_{0}^{\infty }e^{-kt}e^{-j\omega t}dt=\frac{1}{k+j\omega }\)

:smt023


Scusami, come sei arrivato a questo risultato? Lo spettro di ogni singolo segnale non è la sua Trasformata di Fourier? :?
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Re: [Teoria dei Segnali] Spettro bilatero del prodotto di due segnali

Messaggioda Exodus » 25/03/2019, 11:38

oStile17 ha scritto:Scusami, come sei arrivato a questo risultato?

Ho applicato semplicemente la definizione di trasformata di Fourier :wink:

oStile17 ha scritto:Lo spettro di ogni singolo segnale non è la sua Trasformata di Fourier? :?

:?: non ho capito cosa vuoi dire :roll:
Hai 2 funzioni, di cui una è un gradino unitario che ai fini del calcolo agisce solamente sugli estremi d'integrazione, guardati meglio come ho scritto l'integrale,sopratutto gli estremi d'integrazione..
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Re: [Teoria dei Segnali] Spettro bilatero del prodotto di due segnali

Messaggioda oStile17 » 25/03/2019, 23:16

Exodus ha scritto:
oStile17 ha scritto:Scusami, come sei arrivato a questo risultato?

Ho applicato semplicemente la definizione di trasformata di Fourier :wink:

oStile17 ha scritto:Lo spettro di ogni singolo segnale non è la sua Trasformata di Fourier? :?

:?: non ho capito cosa vuoi dire :roll:
Hai 2 funzioni, di cui una è un gradino unitario che ai fini del calcolo agisce solamente sugli estremi d'integrazione, guardati meglio come ho scritto l'integrale,sopratutto gli estremi d'integrazione..


Ok ci sono, calcolato l'integrale viene effettivamente il risultato iniziale.

Quindi possiamo dire che la convoluzione tra un segnale e il gradino unitario è la trasformata del segnale però considerando solo t>0? Perché a conti fatti applicando la definizione di TF vado a integrare solo il primo segnale!

Inoltre, come si grafica questo spettro? :-D

Grazie!
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Re: [Teoria dei Segnali] Spettro bilatero del prodotto di due segnali

Messaggioda Exodus » 26/03/2019, 11:11

oStile17 ha scritto:Inoltre, come si grafica questo spettro?

bhè il risultato è l'inverso di un numero complesso :

\(\frac{1}{z}=\frac{1}{k+j\omega }\)

Quindi moltiplicando sia sopra che sotto per il suo complesso coniugato abbiamo questo risultato:

\(\frac{1}{k+j\omega }\cdot \frac{k-j\omega }{k-j\omega }=\frac{k}{k^{2}+\omega ^{2}}-j\frac{\omega }{k^{2}+\omega ^{2}}\)


Lo tratti come un comune numero complesso, puoi fare un grafico della parte reale, della parte complessa, del modulo etc....
:smt023
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