Zeri di una funzione polinomiale.

[galles90]

Buongiorno,

ho il seguente esercizio, dove chiede di dimostrare che, sia $f$ definita in $mathbb{R}$, da
$f(x)=x^n+ax+b$
dove $n ge 2\ :\ n in mathbb{N}\,\ a,b\ in mathbb{R}$, dimostrare che
1. $n$ pari, $f$ non può avere più di due zeri;
2. $n$ dispari, $f$ non può avere più di tre zeri.

Procedo cosi,

Sia $n$ pari, considero $f'=nx^(n-1)+a$, ottengo $f' ge 0$, per $x ge (-a/n)^(1/(n-1))$,
concludo dicendo che $f$ risulta essere crescente nel suo domino per $x ge (-a/n)^(1/(n-1))$, decrescente altrove, inoltre, essendo che il $lim_(x to +- infty) f(x)=+infty$ si ha un punto di minimo assoluto, il quale lo si ha per $A=(-a/n)^(1/(n-1)), f((-a/n)^(1/(n-1)))$.

Il secondo punto, è molto simile come ragionamento, al primo punto, occore imporre solo che $a<0$.
Mi chiedo qualora fosse corretto il mio ragionamento, bisogna studiare anche i coefficienti?

Cordiali saluti.

[Luca.Lussardi]

Io la farei più semplice: nel caso $n$ pari, se $f$ avesse 3 zeri distinti allora per il Teorema di Rolle $f$ dovrebbe avere almeno due punti critici distinti, e questo è impossibile perché l'equazione $f'=0$ ha al più una soluzione reale.

[galles90]

Ottimo, belli passaggi

Ma il mio potrebbe andare bene, oppure non va bene

[Luca.Lussardi]

Hai scritto cose giuste ma non sta scritto come da quelle considerazioni discende il fatto che $f$ ha al massimo due zeri.

[galles90]

Si.
Risolvendo $f'=0$ mi ricavo i punti critici di $f$, dove risulta solo un punto critico $x_0=(-a/n)^(1/(n-1))$.
Risolvendo $f' ge 0$, ottengo l'andamento di $f$, dove risulta crescente per ogni $x ge x_0$ e decrescente per ogni $x le x_0$.

Di conseguenza, in funzione dei coefficienti $a,b$, si ha che $f$ interseca con l'asse $x$ al più in due punti.

[Luca.Lussardi]

Di conseguenza, in funzione dei coefficienti $a,b$, si ha che $f$ interseca con l'asse $x$ al più in due punti.

Non è chiaro questo punto: perché dall'esistenza di un solo punto critico deduci questo?

[galles90]

perchè $f$, nel punto critico, ha un cambio di monotonia, quindi essendo l'unico punto critico, non ci sono più cambi di monotonia. Per cui questo mi porta a pensare che $f$ interseca una volta con l'asse $x$ in senso decrescente, e una volta con l'asse $x$ in senso crescente.

L'ammetto non è preciso quello che ho detto

[Luca.Lussardi]

E' una spiegazione euristica. Io credo che un buon modo per dirlo sia ciò che dicevo, l'applicazione del teorema di Rolle.

[galles90]

Va bene, quindi sintesi dovrei dire che

nel caso $ n $ pari, se $ f $ avesse 3 zeri distinti allora per il Teorema di Rolle $ f $...

e concludo ?

[Luca.Lussardi]

Si. Puoi fare lo stesso ragionamento se $n$ è dispari.