Ciao,
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
non sono riuscito a capire come le semplificazioni portino al rapporto tra 2 numeri dispari diversi tra loro
modulo 4.
\(\displaystyle \frac{1}{2} = \frac{r}{r+n} \cdot \frac{r-1}{r+n-1} \)
siano \(\displaystyle r={2^a} \cdot b \), \(\displaystyle r+n =2^{a+1}\cdot d \), \( b \) e \(d\) dispari
\(\displaystyle 1= \frac{b}{d} \cdot \frac{{2^a}\cdot b-1}{{2^a}\cdot d-1} \)
non so come procedere.
Io ho seguito questa via:
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deve essere \(\displaystyle r>n \) sia \(\displaystyle c=r-n \)
vale \(\displaystyle r \cdot (r-1)= n \cdot (n-1+r) + r \cdot n \)
ossia \(\displaystyle (c+n) \cdot (c+n-1)= n \cdot (n-1+c+n) + (c+n)\cdot n \)
vale \(\displaystyle c \cdot (c-1) =2n^2 \) e \(\displaystyle c \) e \(\displaystyle (c-1) \) sono coprimi.
Quello pari è il doppio di un quadrato, quello dispari è un quadrato.
Se \(\displaystyle c \) è pari, vale \(\displaystyle c =2f^2\), ma \(\displaystyle 2f^2-1\) non può essere un
quadrato per \(\displaystyle f \) pari, quindi \(\displaystyle n= f \cdot \sqrt{2f^2-1} \) è dispari.
Se \(\displaystyle c \) è dispari, \(\displaystyle c-1=2f^2 \) e \(\displaystyle c-1=g^2-1=2f^2 \Rightarrow f,n\) pari.
Se non mi sono perso in mezzo ai conti, \(\displaystyle r=c+n \) è sempre dispari.
Ciao,
Marmi