Problema ammissione SISSA

Messaggioda Luca978 » 06/04/2019, 10:54

Ciao a tutti, ho problemi a risolvere il secondo punto del seguente esercizio di una prova d'ammissione alla SISSA:

1) Dato un insieme $A$ in $R^2$ aperto connesso e limitato, dimostrare che esiste unica, per ogni direzione $d$, una retta parallela a $d$ tale che divida $A$ in due parti con la stessa area.

2)Dato un altro insieme $B$ con le stesse proprietà di $A$, dimostrare che esiste una retta che divide entrambi gli insiemi in due parti con la stessa area.

Per il primo punto ce la si cava abbastanza facilmente integrando e usando il teorema dei valori intermedi, ma per il secondo punto? Non mi viene in mente molto che potrebbe essere utile. Grazie in anticipo.
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Re: Problema ammissione SISSA

Messaggioda Vincent46 » 07/04/2019, 10:08

Hintino
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Per ognuno degli angoli $\theta \in [0, \pi]$ considera la retta con "direzione" $\theta$ che affetta $A$ in due parti di area uguale.
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Re: Problema ammissione SISSA

Messaggioda onlynose » 07/04/2019, 17:03

Ciao Luca978, ti andrebbe di postare lo svolgimento del primo punto?
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Re: Problema ammissione SISSA

Messaggioda Luca978 » 07/04/2019, 19:53

Praticamente l'dea è questa:
Fissi una direzione $d$. Parametrizzi le rette parallele a $d$ con un parametro reale $r$. Consideri poi la funzione che associa ad $r$ l'area di $A$ che sta sotto la retta $d_r$. Questa funzione è continua ( per l'assoluta continuità dell'integrale di funzioni $L^1$... oppure facendo un piccolo conto a mano stimando il cambiamento dell'area in funzione della variazione di r, puoi stimarlo prenendo una palla contenente $A$, essendo limitato). Per il teorema dei valori intermedi si vede quindi che esiste un unico $r$ in cui la funzione vale proprio metà dell'area di $A$.
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Re: Problema ammissione SISSA

Messaggioda Vincent46 » 08/04/2019, 09:55

onlynose ha scritto:Ciao Luca978, ti andrebbe di postare lo svolgimento del primo punto?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Sia $|A|$ l'area di $A$. Prendi una retta con direzione $d$ di modo che $A$ stia tutto in uno solo dei due semipiani che individua. Ovviamente puoi traslare rigidamente la retta di modo che, alla fine della traslazione, $A$ stia tutto "nell'altro semipiano". Quindi l'area della regione di $A$ contenuta nel semipiano scelto in partenza passa in maniera continua da $|A|$ a $0$. Dunque per il teorema dei valori intermedi esiste una posizione della retta tale che l'area contenuta in quel semipiano sia $\frac{|A|}{2}$.
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Re: Problema ammissione SISSA

Messaggioda onlynose » 08/04/2019, 12:12

Si, intuitivamente è chiaro. Però non capisco come mostrare la continuità in modo formale.
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Re: Problema ammissione SISSA

Messaggioda Vincent46 » 08/04/2019, 12:59

Se sposti la retta di una distanza pari a $\delta$, allora l'area della parte di $A$ contenuta nel semipiano può cambiare al massimo di $\delta * \text{diam}(A)$.
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