Definizione di multipli usando assiomi di hilbert

Messaggioda astrifiammante » 06/04/2019, 21:29

Salve a tutti. Ho postato questa domanda perchè non sono pratico di sistemi formali di assiomi. Leggendo i fondamenti di geometria di hilbert mi piacerebbe ricavare tutti i risultati della geometria euclidea usando i metodi di geometria sintetica. Mi sono incappato in un punto, magari un bruscolino. Tuttavia non riesco a venirne in fuori. Il problema è quello di definire i multipli di un segmento. Dagli assiomi di congrenza potremmo dire:
    1) $OQ\equiv AB$ è multiplo di $AB$
    2) Se $P$ è compreso fra $O$ e $Q$ , se $OP$ è multiplo di $AB$ allora $OQ$ è multiplo di $AB$.
Quando si definisce i naturali dai reali prima si introducono gli insiemi induttivi ( $A$ è induttivo se: 1) $1\in A$, 2) $ x\in A \rightarrow x+1 \in A$) e poi si dicono naturali l'insieme induttivo più piccolo.
Il problema sorge quando devo ricavare dalla definizione sopra e dagli assiomi di hilbert il

Teorema di induzione: Sia $(P_n)$ una famiglia di proposizioni. Se
    a) $P_1$ è vera;
    b) Per ogni $n$ $P_n$ implica $P_{n+1}$ allora $P_n$ è vera $\forall n$
il quale mi permette di dimostrare tramite induzione teoremi come la somma di due multipli di $AB$ è un multiplo di $AB$. Ovviamente nel teorema di induzione $1$ significa congruente ad $AB$ e la seconda significa che se una proposizione si suppone vera per un multiplo di $AB$ allora è vera per il multiplo successivo. Questa difficoltà che trovo è un mio errore o è dovuta all'espressività degli assiomi di hilbert? Se non è così potreste farmi vedere come sistemare il dilemma sopra e farmi vedere come si ricava il teorema di induzione (ovviamente nel linguaggio degli assiomi di hilbert quindi non tirando in ballo i naturali) ed in particoare come dimostrare che la somma di due multipli è un multiplo? Usando solo gli assiomi di hilbert non posso parlare di famiglia di proposizioni.
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Re: Definizione di multipli usando assiomi di hilbert

Messaggioda vict85 » 07/04/2019, 14:31

Mi sembra difficile parlare di multipli senza usare gli assiomi di continuità. In particolare mi sembra tu stia cercando di dimostrare l'assioma archimedeo usando gli altri assiomi oppure aggiungendone altri esterni.

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Re: Definizione di multipli usando assiomi di hilbert

Messaggioda astrifiammante » 07/04/2019, 21:44

No l'assioma di archimede è ok. Si esprime bene con il linguaggio degli assiomi di hilbert. Il problema è, una volta introdotto il multiplo, provare il teorema di ricorsione che mi permette di fare le dimostrazioni per induzione. Prendiamo ad esempio la somma di due multipli:

Teorema Sia $D$ compreso fra $C$ ed $E$. Se $CD$ e $DE$ sono multipli di $AB$ allora pure $CE$ è multiplo di $AB$.

Dim. La dimostrazione dovrebbe avvenire per induzione, ovvero se $DE \equiv AB$ l'affermazione è vera per la definizione che ho dato. Supponendo che l'enunciato sia vero per un generico multiplo $DE$ di $AB$ ciò implica che sia vero pure per $DE^' = DE +$ EE' con EE' $\equiv AB$ . Anche la parte di dimostrazione in grassetto è dimostrabile tramite la definizione di multiplo data.

Si noti che la parte di dimostrazione in neretto è la seconda parte del teorema di induzione ( supponiamo che la proposizione vera per $n$ implichi che sia vera per $n+1$, allora è vera per ogni intero) nel linguaggio dei segmenti. Il punto è che dovrei dimostrare (nel linguaggio della geometria e quindi coi segmenti) che se la proposizione è vera per $DE\equiv AB$ e se suppongo che sia vero per un multiplo $DE$ di $AB$ implica che sia vero anche per il "successivo" di $DE$ ovvero $DE^'$ allora è vero per tutti i multipli di $AB$. Ovvero devo dimostrare, con i segmenti senza usare i numeri naturali, il teorema di ricorsione. Come posso fare ciò senza usare il linguaggio delle proposizioni e dei numeri naturali?
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Re: Definizione di multipli usando assiomi di hilbert

Messaggioda vict85 » 08/04/2019, 13:14

Prima di tutto non ho capito le tue due prime frasi. L'assioma di Archimede fa parte di quelli di Hilbert.

Detto questo, non vedo perché tu abbia bisogno dell'induzione. Con multiplo intendi multiplo intero?

Comunque, in un caso dividi \(CD\) in \(n\) segmenti congruenti a \(AB\), nel secondo hai \(m\) segmenti congruenti ad \(AB\). Quello che ti rimane da dimostrare è che i primi \(n\) segmenti sono gli stessi in entrambi i casi.
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Re: Definizione di multipli usando assiomi di hilbert

Messaggioda astrifiammante » 08/04/2019, 18:48

Forse non mi sono fatto capire bene, mi sono espresso in modo impulsivo. Volevo provare che la somma di due multipli di $AB$ è ancora un multiplo di $AB$ usando gli assiomi di Hilbert, ovvero usando soltanto la geometria sintetica la quale non fa uso di numeri, ma soltanto confronta fra loro segmenti. L'impressione che spunta inizialmente è questa. Gli assiomi di congruenza ti permettono di costruire i multipli di un segmento, giusto? Siamo abbituati, solitamente nei corsi di matematica , a partire dall'analisi e quindi definire i naturali come il più piccolo insieme induttivo. Successivamente si verifica che il più piccolo insieme induttivo soddisfa il teorema di ricorsione, ovvero sia $P(n)$ un predicato. supponiamo che:
    1) $P(1)$
    2) $P(n) \rightarrow P(n+1)$

Allora $P(n)$ è vero per ogni $n\in N$.
Adesso l'analogo problema su campo reale è il seguente: Se $a,b\in R$ e $a+b=c$ allora $na + nb = nc$, $\forall n\in N$. Nel caso dei numeri reali ciò si prova banalmente usando le proprietà delle operazioni oppure è possibile anche usare l'induzione su $n$: per $n=1$ è vera per definizione di $c$. In oltre supponendo vero $ na+nb=nc$ ciò implica $(n+1)a+(n+1)b = na + nb + a + b = (n+1)c$. dunque $na+nb=nc$ è vera per ogni naturale.
In geometria dobbiamo invece usare gli assiomi di hilbert. Perciò il risultato non può essere dimostrato usando le proprietà delle operazioni. L'unica operazione che si definisce è soltanto la somma di segmenti. Possiamo definire il multiplo di un segmento tramite ricorsione, ovvero:
Definizione:
    1) $OQ\equiv AB$ è un multiplo di $AB$
    2) Dati $O,P,Q$, se $OP$ è un multiplo di $AB$ e $PQ\equiv AB$ allora $OQ$ è anch'esso multiplo di $AB$



La prima cosa che salta in mente è dimostrare il teorema dei multipli tramite ricorsione. Ma prima ancora va dimostrato il teorema di ricorsione. Come posso fare ciò con gli assiomi di hilber? In oltre si noti che nel teorema di ricorsione viene fatta menzione di un predicato $P(n)$. Gli assiomi di hilbert non lavorano coi predicati e nemmeno con i numeri naturali, ma solo con segmenti. In altre parole predicati e numeri naturali sono estranei al linguaggio degli assiomi di hilbert. Per questo all'inizio avevo chiesto se fosse stato un problema di espressività degli assiomi di hilbert. C'è qualcosa che non va bene nel mio ragionamento? Come posso provare che che la somma di due multipli è un multiplo?
VICT 85 non ho capito come il tuo ragionamento possa provare l'asserto partendo dalla definizione data di multiplo.
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Re: Definizione di multipli usando assiomi di hilbert

Messaggioda vict85 » 10/04/2019, 16:59

Non è vero che stai usando solo gli assiomi di Hilbert. Stai, come minimo, anche usando una qualche logica e forse qualcosa della teoria degli insiemi :-k . Tutto sommato persino l'insieme dei numeri interi quando affermi che "Tre punti non allineati dello spazio individuano un piano" (definire formalmente quella proposizione senza usare i numeri è possibile ma certo molto tedioso) o all'interno dell'assioma di Archimede.

Effettivamente però la tua definizione è ricorsiva, la domanda quindi è se sia valido, nel particolare sistema logico che stai considerando, definire qualcosa ricorsivamente. Inoltre, stai definendo un insieme, ma gli assiomi di Hilbert non parlano di insiemi.

Tieni conto che gli assiomi sono spesso esposti in maniera molto più discorsiva di quello che sarebbe davvero necessario se si volesse scrivere il tutto formalmente usando solo la logica di primo grado.
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Re: Definizione di multipli usando assiomi di hilbert

Messaggioda astrifiammante » 10/04/2019, 18:06

Vict85 volevo chiederti se sai come poter abbordare questo tipo di dimostrazioni. Magari hai consultato un libro o hai, per diletto, ricavato i risultati della geometria classica facendo leva solo sugli assiomi di hilbert. Ho letto in giro, se non mi sbaglio, che gli assiomi di hilbert (h.) sono sufficienti per ricavare i numeri reali. Il secondo assioma di completezza viene espresso tramite la logica del secondo ordine. Esistono però anche gli assiomi di Tarski i quali si esprimono al primo ordine, ma per ora lasciamo stare questi. Comunque l'induzione mi sembra estranea al linguaggio degli assiomi h. Per lo meno per quanto riguarda i predicati che non dovrebbero rientrare nel linguaggio. Se escludiamo l'induzione la cosa che rimane è l'assioma di archimede (ammesso che dia qualcosa, dovrei ragionarci sopra). Da questo si potrebbe ricavare l'algoritmo della divisione euclidea...... Vorrei arrivare alla teoria delle proporzioni (alla Eudosso però e non con i numeri reali!), ed introdurre il pi greco. Conosci un qualche libro che espone il percorso o qualche file in internet?
Ah dimenticavo. Quando definisco ricorsivamente i multipli di un segmento non faccio appello a nessun insieme! Lavoro solo coi segmenti. Quando devo esprimere che ci sono tre punti non allineati non faccio in realtà riferimento al numero tre. Difatti se scrivo:
$$\forall a,b\in r \exists c\notin r $$
ove $\in$ non è inteso come simbolo di appartenenza, ma di giacere su una retta che è una delle proprietà primitive espresse da hilbert nei fondamenti!
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Re: Definizione di multipli usando assiomi di hilbert

Messaggioda astrifiammante » 15/04/2019, 09:54

Provo a dare una dimostrazione. Sembra tanto che mi stia però perdendo.......Riposto tutte le definizioni per avere il quadro completo.

Definizione 1: Se:
    1) $OQ\equiv AB$ allora $OQ$ è multiplo di $AB$
    2) dato $P$ compreso fra $O$ e $Q$ $OP$ è multiplo di $AB$ e $PQ\equiv AB$ allora $OQ$ è multiplo di $AB$


Lemma 1: Per ogni segmento $HL$, multiplo di $AB$, esiste un punto $K$ coincidente con $L$ o compreso fra $H$ ed $L$ tale che $HK\equiv AB$ oppure $KL\equiv AB$.
Dim.
Se $HL\equiv AB$ allora $K=L$ per la 1) della definizione 1. Se $HL\ne AB$ per la 2) della definizione 1 esiste un $X$ compreso fra $H$ ed $L$ tale che $HX$ è multiplo di $AB$ e $XL\equiv AB$. In tal caso $K=X$. :roll: (fine dimostrazione).

Proposizione 1: Se $D$ è compreso fra $C$ ed $E$ e se $CD$ e $DE$ sono multipli di $AB$ allora pure $CE$ lo è.
Dim.
Se $DE\equiv AB$è vera per la definizione 1. Occorre perciò trattare il caso $DE\ne AB$. Per il lemma 1 esiste un $H$ compreso fra $D$ ed $E$ tale che $HE\equiv AB$. Dobbiamo provare che $CH$ è un multiplo di $AB$. Se $DH\equiv AB$ allora $CH$ è un multiplo di $AB$. Sia ora $Q'$ tale che $D<Q<Q'$ e $Q'E\equiv AB$. Se $CQ$ è multiplo di $AB$ allora pure $CQ'$ è multiplo di $AB$. Dunque $CH$ è multiplo di $AB$ e così pure $CE$. :roll:
Può andare ? In tal modo dovrei avere dimostrato che la somma di due multipli è un multiplo usando soltanto gli assiomi di hilbert
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Re: Definizione di multipli usando assiomi di hilbert

Messaggioda Indrjo Dedej » 15/04/2019, 18:16

Guarda, potrei aiutarti, ma al momento sono preso e sto scorrendo delle discusioni nei brevi tempi morti. Magari per le vacanze pasquali troverò del tempo. Vado a ripescare un lavoro che ho fatto con gli assiomi di Hilbert e vediamo. :smile: Va bene?
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Re: Definizione di multipli usando assiomi di hilbert

Messaggioda astrifiammante » 15/04/2019, 18:35

Ti ringrazio Indrjo!!! :P Ti sto aspettando con trepidazione, mi piacerebbe sbrogliare la matassa! Ciò che mi piacerebbe sapere fondamentalmente sarebbe se posso parlare di multipli (e di dimostrazioni per induzione) usando soltanto la logica aristotelica ed il linguaggio degli assiomi di hilbert senza usare quindi il linguaggio degli insiemi. Attendo con ansia una tua risposta per le vacanze pasquali. Intanto auguri!
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