Determinare un Triangolo senza i Vertici?

[afk99]

Salve a tutti mi è stato proposto di fare questo esercizio, ma credo di avere qualche difficolta nel saperlo impostare l'esercizio è il seguente:


Date le rette in forma espicita
$ y= -x + 2 $
$ y=-2x+3 $
$ y=(1)/(3)x $




l'esercizio chiede senza determinare i vertici di calcolare tutte e 3 le sue altezze e dimostrare che passano per uno stesso punto (il triangolo uscente è scaleno)



sapendo che passano per uno stesso punto (le altezze) ho pensato di calcolare l'ortocentro (visto che per definizione è il punto di incontro di quest'ultime) il problema e che quando l'esercizo mi toglie i vertici, cioè che non posso determinarli, non riesco proprio a trovare altro che mi aiuti a calcolare le altezze, finisco in una spirale di processi deduttivi sbagliati che non mi portano a nulla, non sono qui per approfittare, voglio impare, e di solito metto appunto il modo in cui ho cercato di risolvere l'esercizio ma stavolta non so proprio dove cominciare

[HowardRoark]

Due rette sono perpendicolari se e solo se i loro coefficienti angolari sono uno l'opposto del reciproco dell'altro:

$m_2=-1/m_1$

Quindi puoi calcolare le rette perpendicolari ai lati del triangolo sfruttando questa relazione.

Per dimostrare che tali altezze passano tutte per uno stesso punto puoi porre a sistema le equazioni delle tre altezze trovate: la soluzione del sistema ti dà le coordinate del punto in questione.


Però, a pensarci bene, se devi risolvere il problema senza determinare i vertici ti mancherebbe un dato per determinare in maniera univoca l'altezza.
Infatti io avevo pensato di calcolare il coefficiente angolare dell'altezza (con la relazione di perpendicolarità) e poi sfruttare il fatto che passa per il vertice di un triangolo.

[afk99]

Due rette sono perpendicolari se e solo se i loro coefficienti angolari sono uno l'opposto del reciproco dell'altro:

$m_2=-1/m_1$

Quindi puoi calcolare le rette perpendicolari ai lati del triangolo sfruttando questa relazione.

Per dimostrare che tali altezze passano tutte per uno stesso punto puoi porre a sistema le equazioni delle tre altezze trovate: la soluzione del sistema ti dà le coordinate del punto in questione.


Però, a pensarci bene, se devi risolvere il problema senza determinare i vertici ti mancherebbe un dato per determinare in maniera univoca l'altezza.
Infatti io avevo pensato di calcolare il coefficiente angolare dell'altezza (con la relazione di perpendicolarità) e poi sfruttare il fatto che passa per il vertice di un triangolo.

ho il fatto il tuo stesso identico ragionamento però appunto non posso sfruttare i vertici quello è il problema ci sarà qualche trucchetto non so

[vict85]

I vertici sono i punti di intersezione delle rette (considerate a due a due). Insomma trovi l'intersezione di \(S\) e \(R\), poi di \(S\) e \(T\) e quindi di \(T\) e \(R\). Nota che se \(S\) e \(R\) intersecano in \(P_{S,\,R}\) allora l'altezza del triangolo rispetto al segmento giacente sulla retta \(T\) sarà sulla retta perpendicolare a \(T\) e passante per \(P_{S,\,R}\).

[gugo82]

@afk99: Riporteresti il testo esatto dell'esercizio?