Spazio localmente compatto

Messaggioda Al_K » 15/04/2019, 18:55

Ciao a tutti.
Vi illustro il seguente esercizio con cui ho diversi problemi. Il testo è il seguente :

Si consideri lo spazio delle funzioni continue su [0,1], cioè : $ C^0 (text([)0,1text(]))= \{ f : [0;1]->R, f text( continua) \} $

munito della distanza indotta dalla norma infinito su [0,1].

Dimostrare che lo spazio non è localmente compatto.

Ora il problema è che il suggerimento è quello di utilizzare una successione di polinomi di norma 1 da cui non si può estrarre una sottosuccessione uniformemente convergente. Ma anche ammesso che riesca a trovare una tale successione, questo proverebbe che lo spazio non è compatto, ma perché ciò dovrebbe implicare che non è localmente compatto?
Ad esempio (0,1) non è compatto con la norma euclidea e infatti non è compatto per successioni, ma è localmente compatto. Quindi il non essere compatto per successioni a priori non dovrebbe dirmi nulla sulla locale compattezza.
Dove sbaglio?
Al_K
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Re: Spazio localmente compatto

Messaggioda Shocker » 15/04/2019, 23:41

Ciao,

magari in questo modo riesci a dimostrare che ogni palla chiusa di raggio $r > 0$ centrata nella funzione nulla non è compatta, da questo dovrebbe seguire che non è localmente compatto(pensaci).
Nature by numbers - http://www.youtube.com/watch?v=kkGeOWYOFoA

$F(n) = ( \varphi^n - (1 -\varphi)^n )/sqrt(5)$
#NikkioAlleIMO - https://www.youtube.com/watch?v=vEl5bFIALb8

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Re: Spazio localmente compatto

Messaggioda Al_K » 15/04/2019, 23:56

In effetti stavo pensando la seguente cosa : in uno spazio metrico localmente compatto le palle chiuse sono compatte se non sbaglio, quindi mi basta dimostrare che una palla chiusa, ad esempio quella centrata nell'origine di raggio 1,non è compatta, per concludere che lo spazio non è localmente compatto. Ergo se trovo una successione in tale palla che non ammette sottosuccessioni convergenti sono a posto. Corretto? In tal caso domani posto una mia idea di soluzione.
Al_K
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Re: Spazio localmente compatto

Messaggioda Shocker » 16/04/2019, 11:24

No, è falso che in uno spazio metrico localmente compatto le palle chiuse sono tutte compatte(trova un esempio).
Tuttavia nota che il tuo non è solo uno spazio metrico... è anche uno spazio vettoriale normato, la cui norma induce la metrica. Prova a dimostrare che se $X$ è uno spazio vettoriale normato localmente compatto allora tutte le palle chiuse sono compatte.
Per il resto la strategia è corretta.
Nature by numbers - http://www.youtube.com/watch?v=kkGeOWYOFoA

$F(n) = ( \varphi^n - (1 -\varphi)^n )/sqrt(5)$
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