Spazio localmente compatto

Messaggioda Al_K » 15/04/2019, 18:55

Ciao a tutti.
Vi illustro il seguente esercizio con cui ho diversi problemi. Il testo è il seguente :

Si consideri lo spazio delle funzioni continue su [0,1], cioè : $ C^0 (text([)0,1text(]))= \{ f : [0;1]->R, f text( continua) \} $

munito della distanza indotta dalla norma infinito su [0,1].

Dimostrare che lo spazio non è localmente compatto.

Ora il problema è che il suggerimento è quello di utilizzare una successione di polinomi di norma 1 da cui non si può estrarre una sottosuccessione uniformemente convergente. Ma anche ammesso che riesca a trovare una tale successione, questo proverebbe che lo spazio non è compatto, ma perché ciò dovrebbe implicare che non è localmente compatto?
Ad esempio (0,1) non è compatto con la norma euclidea e infatti non è compatto per successioni, ma è localmente compatto. Quindi il non essere compatto per successioni a priori non dovrebbe dirmi nulla sulla locale compattezza.
Dove sbaglio?
Al_K
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Re: Spazio localmente compatto

Messaggioda Shocker » 15/04/2019, 23:41

Ciao,

magari in questo modo riesci a dimostrare che ogni palla chiusa di raggio $r > 0$ centrata nella funzione nulla non è compatta, da questo dovrebbe seguire che non è localmente compatto(pensaci).
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Re: Spazio localmente compatto

Messaggioda Al_K » 15/04/2019, 23:56

In effetti stavo pensando la seguente cosa : in uno spazio metrico localmente compatto le palle chiuse sono compatte se non sbaglio, quindi mi basta dimostrare che una palla chiusa, ad esempio quella centrata nell'origine di raggio 1,non è compatta, per concludere che lo spazio non è localmente compatto. Ergo se trovo una successione in tale palla che non ammette sottosuccessioni convergenti sono a posto. Corretto? In tal caso domani posto una mia idea di soluzione.
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Re: Spazio localmente compatto

Messaggioda Shocker » 16/04/2019, 11:24

No, è falso che in uno spazio metrico localmente compatto le palle chiuse sono tutte compatte(trova un esempio).
Tuttavia nota che il tuo non è solo uno spazio metrico... è anche uno spazio vettoriale normato, la cui norma induce la metrica. Prova a dimostrare che se $X$ è uno spazio vettoriale normato localmente compatto allora tutte le palle chiuse sono compatte.
Per il resto la strategia è corretta.
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Re: Spazio localmente compatto

Messaggioda Al_K » 16/04/2019, 17:56

-Se considero R con la metrica discreta dovrei avere uno spazio localmente compatto, dato che per ogni punto di R e ogni intorno aperto ho un aperto a chiusura compatta : il punto stesso inteso come singoletto. Ora la palla chiusa di raggio 1 coincide con R stesso e non è compatta dato che il ricoprimento formato ad esempio dai singoletti dei punti di R non ammette sottoricoprimenti finiti. Ci sta come esempio?

-riguardo alla dimostrazione del fatto che in uno spazio vettoriale normato localmente compatto le palle chiuse sono compatte sto facendo un po' di fatica o meglio non ho capito se è una cosa semplice o se occorre qualche conoscenza di analisi/geometria che magari mi sono perso. Ho trovato qualche dimostrazione su internet, ad esempio del fatto che uno spazio normato è localmente compatto se e solo se è di dimensione finita, però probabilmente la cosa è più semplice di come mi sembra ora....

-assumendo come fatto che se la palla chiusa di raggio 1 e centro 0 non è compatta lo spazio in questione non è localmente compatto, propongo di considerare la successione delle funzioni :

$ f_n(x)=x^n $

la cui norma è 1. Tale successione converge puntualmente ad una funzione (non continua) f =0 se x <0 , f=1 se x=1.
Se questa successione ammettesse una successione uniformemente convergente allora, detta g il limite della sottosuccessione, la convergenza a g sarebbe anche puntuale. Ma per unicità del limite deve essere g=f, ed f non è continua. Quindi la successione non ammette sottosuccessioni convergenti nella palla chiusa considerata.
Può andare?
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Re: Spazio localmente compatto

Messaggioda Shocker » 24/04/2019, 09:23

L'esempio è ok, mi sembra vada bene anche lo svolgimento dell'esercizio.

Per quanto riguarda la locale compattezza: Siano $X$ uno spazio normato localmente compatto e $x \in X$ un punto, per la locale compattezza $\exists U \subset X$ intorno di $x$ compatto, quindi, poiché le palle formano una base della topologia di $X$ indotta dalla norma, $\exists \epsilon > 0$ tale che $B(x, \epsilon) \subset U \subset X$, ne segue che $\overline{B(x, \epsilon)} \subset U$ è un chiuso in un compatto e quindi è compatto. Poiché lo spazio è normato vale che $\overline{B(x, \epsilon)} = \overline{B}(x, \epsilon)$, cioè la chiusura di una palla coincide con la palla chiusa e poiché $X$ è uno spazio vettoriale si vede facilmente che le palle sono tutte omeomorfe fra loro. Quindi tutte le palle chiuse sono compatte.
Secondo te può andare? :)

Ciao.
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Re: Spazio localmente compatto

Messaggioda dissonance » 24/04/2019, 12:58

@Shocker: se mi posso intromettere, metodologicamente io eviterei il ricorso all'astrazione a meno che non aggiunga genuinamente qualche idea. E qui non mi pare il caso. Infatti, una volta notato che la successione \(f_n(x)=x^n\) è limitata ma non ha estratte convergenti, come AlK ha fatto, concluderei notando che, per ogni \(f\in C^0([0,1])\) e ogni \(\delta >0\), la palla chiusa di centro \(f\) e raggio \(\delta\) contiene la successione
\[
g_n:=f+\delta f_n, \]
e quindi tale palla non è compatta. Abbiamo concluso che tutte le palle chiuse non sono compatte e abbiamo finito.
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Re: Spazio localmente compatto

Messaggioda Shocker » 24/04/2019, 14:18

Sì hai ragione, è molto più istruttiva la tua soluzione, hai fatto benissimo ad intrometterti.

Ciao :)
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Re: Spazio localmente compatto

Messaggioda dissonance » 24/04/2019, 15:52

Shocker ha scritto:Sì hai ragione, è molto più istruttiva

Beh vabbè adesso non esageriamo, non ho fatto praticamente niente. :)
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Re: Spazio localmente compatto

Messaggioda Al_K » 30/04/2019, 09:21

Grazie!
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