Ciao a tutti.
Vi illustro il seguente esercizio con cui ho diversi problemi. Il testo è il seguente :
Si consideri lo spazio delle funzioni continue su [0,1], cioè : $ C^0 (text([)0,1text(]))= \{ f : [0;1]->R, f text( continua) \} $
munito della distanza indotta dalla norma infinito su [0,1].
Dimostrare che lo spazio non è localmente compatto.
Ora il problema è che il suggerimento è quello di utilizzare una successione di polinomi di norma 1 da cui non si può estrarre una sottosuccessione uniformemente convergente. Ma anche ammesso che riesca a trovare una tale successione, questo proverebbe che lo spazio non è compatto, ma perché ciò dovrebbe implicare che non è localmente compatto?
Ad esempio (0,1) non è compatto con la norma euclidea e infatti non è compatto per successioni, ma è localmente compatto. Quindi il non essere compatto per successioni a priori non dovrebbe dirmi nulla sulla locale compattezza.
Dove sbaglio?