criterio di convergenza di cauchy

Messaggioda Simone Masini » 16/04/2019, 10:54

Il criterio dice che an+1+an+2+……….+an+k<α con α piccolo a piacere e k qualsiasi. Adesso mi domando ,perché se il resto ennesimo cioè la sommatoria precedente è limitato allora la serie di termine an converge? Come posso motivarlo intuitivamente? La dimostrazione non mi è ben chiara
Simone Masini
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Re: criterio di convergenza di cauchy

Messaggioda gugo82 » 16/04/2019, 11:15

Simone Masini ha scritto:Il criterio dice che an+1+an+2+……….+an+k<α con α piccolo a piacere e k qualsiasi.

Quale criterio?
Di Criteri di Cauchy ce n’è una pletora…

E comunque, nessuno dice ciò che hai scritto.

Simone Masini ha scritto:Adesso mi domando ,perché se il resto ennesimo […]

Il resto di che?

Simone Masini ha scritto:[…] cioè la sommatoria precedente è limitato […]

Il Criterio non dice questo.

Simone Masini ha scritto:[…] se […] allora la serie di termine an converge?

Perché si dimostra.

Simone Masini ha scritto:Come posso motivarlo intuitivamente? La dimostrazione non mi è ben chiara

Fatti un disegno.
E studiati la dimostrazione.
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Re: criterio di convergenza di cauchy

Messaggioda 3m0o » 16/04/2019, 11:19

Il criterio di convergenza di Cauchy afferma che una successione \( (a_n) \) converge se e solo se è di Cauchy, dunque se \( \forall \varepsilon >0 \), piccolo a piacere esiste un \( N >0 \) grande a piacere tale che \( \forall n \geq N \) e \( \forall m \geq 1 \) allora \( \begin{vmatrix} a_{n+m} - a_n \end{vmatrix} \leq \varepsilon \)

Intuitivamente:
In una direzione
Se hai una successione convergente allora evidentemente ad un certo punto l'oscillazione dei tuoi punti è piccola quanto vuoi, ovvero l'errore tra un termine ed i successivi è piccola a piacere, o ancora tutti i termini successivi ad \( a_N \) saranno tutti distanti meno di un valore piccolo a piacere, questo è abbastanza intuitivo visto che la tua successione converge.

Nell'altra direzione:
Dice che se l'oscillazione dei tuoi punti, l'errore tra un termine e i suoi successivi, è piccolo a piacere allora la successione deve convergere. Infatti se tutti i punti da un certo \( N \) in poi sono tutti vicinissimi tra loro allora converge proprio per la scelta arbitraria del tuo \( \varepsilon \), l'errore.
Non so se sono stato chiaro.
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Re: criterio di convergenza di cauchy

Messaggioda gugo82 » 16/04/2019, 11:32

3m0o ha scritto: \( \forall \varepsilon >0 \), piccolo a piacere esiste un \( N >0 \) grande a piacere

Perché, $epsilon = 10^(10^(10))$ non ti piace?

Ed $N=1$ nemmeno?
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Re: criterio di convergenza di cauchy

Messaggioda 3m0o » 16/04/2019, 11:42

Si \( \forall \varepsilon >0 \) esiste un \( N_{\varepsilon} > 0 \).
Però per finire ci si interessa a valori molto piccoli di \( \varepsilon \), o sbaglio?
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