Dimostrare che $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})$

[Fra27]

Buonasera a tutti, ho bisogno di dimostrare questa uguaglianza, per poter dire che l'estensione $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})$ ha grado 8 su $\mathbb{Q}$.
"$\supseteq$" è ovvia, poiché $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$.
Non riesco però a dimostrare "$\subseteq$", senza usare Galois. Qualcuno può aiutarmi? Grazie!!

[dan95]

Allora...

Dimostra che $\mathbb{Q}(\sqrt(2),\sqrt(3))=\mathbb{Q}(\sqrt(3)+\sqrt(2))$

Fatto ciò puoi dire che $\mathbb{Q}(\sqrt(2),\sqrt(3),\sqrt(5))=\mathbb{Q}(\sqrt(3)+\sqrt(2),\sqrt(5))$

Quindi la tesi equivale a dimostrare che $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ e $\sqrt{5}$ hanno grado 2 su $\mathbb{Q}(\sqrt(2)+\sqrt(3))$

[j18eos]

@dan95 Forse c'è un typo?

[dan95]

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