Problema con equazioni differenziali

[ZfreS]

Ho questo problema: quando una palla di neve si scioglie, il suo raggio diminuisce con una velocità proporzionale alla superficie della palla. Scrivi l’equazione differenziale che governa il fenomeno. Sapendo che all’inizio la palla ha un raggio di $6 cm$ e che dopo 6 minuti il raggio è di $4 cm$, determina la funzione che descrive il variare del raggio nel tempo t calcolato in minuti.
Credo di aver imparato a risolvere le tipologie più semplici di equazioni differenziali ordinarie, ora volevo vedere come applicarle ai problemi reali. Quel che vorrei capire di questo problema è il perchè dell'equazione differenziale. Se il problema non avesse specificato di scrivere un'equazione differenziale, io avrei fatto così: $r(t)=4pir^2(t)$. Ma evidentemente devo tradurre in termini differenziali questa legge(se è corretta). Quel che vorrei capire è perchè lo si fa e come lo si fa.
Potreste aiutarmi per favore?

[SirDanielFortesque]

io avrei fatto così: $r(t)=4*π*r^2(t)$

Questa come l'hai costruita scusa????

io risolverei questa:

$-(dR)/dt=K*4*pi*R^2$

[ZfreS]

Quella che ho scritto è una legge che indica come cambia il raggio in base al tempo. Cosa indica quella che hai scritto tu? Potresti spiegarmela?

[SirDanielFortesque]

Risolta la mia dà:
$R=72/(t+12)$

E' corretto no?

la tua cosa ti dà risolta? Hai provato?

[giammaria]

Quella che ho scritto è una legge che indica come cambia il raggio in base al tempo. Cosa indica quella che hai scritto tu? Potresti spiegarmela?

Provo a spiegartela io: tu hai scritto che il raggio è uguale alla superficie. Il problema però diceva che la velocità di diminuzione del raggio (e quindi $-(dR)/(dt)$) è proporzionale (e quindi c'è un fattore $K$) alla superficie. Ne consegue l'equazione scritta da SirDanielFortesque , che non ho provato a risolvere.

[SirDanielFortesque]

Mi hai tolto le parole di bocca. il $-$ è perché il raggio decresce, quindi la derivata è negativa.

[ZfreS]

Ok, ho capito tutto tranne una cosa, perchè il problema si mette in gioco la derivata e non semplicemente un $(DeltaR)/(Deltat)$

[SirDanielFortesque]

$(ΔR)/(Δt)$

Perché il problema parla di $"velocità"$ non di una "$velocità media"$.

[ZfreS]

E quando si parla di velocità, si intende quella istantanea?

[SirDanielFortesque]

Dipende. In questo caso sì. L'argomento è "equazioni differenziali" per cui utilizzare i $\Delta$ sarebbe fuori luogo.