Salve a tutti.
Sono alle prese con un esercizio di classificazione.
Ho un gruppo $G$ tale che $|G|=2^n$ con la proprietà che $\forall x \in G, x^2=e$.
So che se vale l'ultima proprietà detta $G$ è per forza abeliano. La tesi afferma che $G\cong (\mathbb{Z}_2)^n$.
La dimostrazione è una semplice induzione e nei casi base è davvero bamale. Il problema è nel passo induttivo.
L'idea è dimostrare che $G\cong G\\K \times K$, con $K$ sottogruppo di $G$ di ordine $2^n$. So che c'è dal primo teorema di Sylow.
La mia personalissima idea era di usare che se ho due sottogruppi di $G$ (di cui almeno uno normale) con intersezione solo l'identità allora il loro prodotto diretto è un sottogruppo.
Per cardinalità, se valesse con $G\\K$ e con $K$, allora avrei la tesi.
Il problema è che $G\\K$ non è un sottogruppo. Però, con un discorso un pò poco intuitivo (per me) pare che considerando il sollevamento della proiezione canonica, che sarebbe iniettivo in $G$, si possa dire che la sua immagine in G sia un sottogruppo isomorfo a $G\\K$ e questo permetterebbe di concludere, perchè l'isomorfismo cercato sarebbe dato dal prodotto diretto di questo sollevamento con l'immersione di $K$ in $G$.
La mia domanda è: cosa fa intuitivamente quel sollevamento?
Grazie in anticipo