Convergenza uniforme e puntuale

[Thrank]

Buongiorno,

volevo avere alcuni chiarimenti sulla risoluzione di esercizi relativi alla convergenza puntuale ed uniforme di successioni di funzioni. Ho un esercizio che recita:

Data $\f_n(x) = n^alpha(1-x^2)^nx+(sen(nx))/sqrt(n)$ con $f_n : [0, 1] -> RR$, $\n in NN \ {0}$ ed $\alpha in RR$. $\f$ è il limite puntuale di $\f_n$ ove esiste ed è finito. Verificare:

1) $\f_n -> f$ uniformemente su $\[0, 1] Leftrightarrow alpha < 1/2$
2) Se $\alpha <= 0$ allora $\f_n -> f$ puntualmente su $\[0, 1]$ e $\lim_(n->+oo)int_{0}^{1}f_n(x)dx = int_{0}^{1}f(x)dx$

Ho studiato la teoria relativa, ma ho ancora dei dubbi. So che, affinché una successione di funzioni sia puntualmente convergente il $\lim_(n->+oo)f_n(x) = f(x)$, dove $\f(x)$ è il limite puntuale della successione di funzioni, che nel mio caso dovrebbe essere pari a zero (sbaglio?).
Una successione di funzioni invece è uniformemente convergente se $\lim_(n->+oo)[$sup$\|f_n(x) - f(x)|] = 0$, dove $\f(x)$ è sempre il limite puntuale, quindi nel mio caso zero. Come dovrei fare questo limite? Io pensavo di calcolare la derivata prima della funzione per trovare il massimo di $\f_n(x)$ poiché, come già detto, in questo caso $\f(x) = 0$. A questo punto dovrei fare solo il limite. Alternative?

In ultimo la parte relativa all'integrale della seconda domanda. Come la dimostro? Sapendo che $\int_{0}^{1}f(x)dx = 0$ devo dimostrare quindi solo che: $\lim_(n->+oo)int_{0}^{1}f_n(x)dx = 0$, giusto?

Ringrazio tutti per le risposte in anticipo!

[Reyzet]

Si dovresti fare la derivata e usare quella caratterizzazione. Ci sono altri metodi e condizioni sufficienti però sono più lunghi e non vale la pena in questo caso.
Per la seconda parte una volta che hai provato la convergenza puntuale, vedi se c'è pure quella uniforme, in quel caso basterà usare il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale

[dissonance]

Non sono molto d'accordo con l'intervento di Reyzet. Per il primo punto, io consiglio di studiare i due addendi separatamente: infatti,
\[
\left\lvert\frac{\sin nx}{\sqrt{n}}\right\rvert\le \frac{1}{\sqrt{n}}, \]
da cui discende immediatamente che questo addendo converge uniformemente a \(0\). Quindi l'unica difficoltà sta nel primo addendo, ed è lì che bisogna studiare la derivata. (Nota: se \(\alpha< 0\), la tecnica usata per il secondo addendo vale pure per il primo, e dimostra immediatamente la convergenza uniforme. È sempre bene fare attenzione a questi casi facili, prima di mettersi a fare conti).

Per la seconda parte, si può ovviamente usare un teorema a scatola chiusa, come suggerisce Reyzet, ma non è quello il punto dell'esercizio. Altrimenti, avrebbe chiesto di verificare la relazione di limite per tutte le \(\alpha<1/2\) e non solo minori di \(0\). Invece, conviene fare una maggiorazione, proprio come nel paragrafo precedente, e la soluzione discende subito subito.