Esercizio 1 SISSA 2012

Messaggioda onlynose » 16/04/2019, 19:13

Ciao a tutti! Vi propongo un esercizio per l'ammissione alla SISSA.

Si definiscano per $x>0$ le funzioni
$$f_n(x) := \prod_{k=0}^{n}\frac{1}{x+k}.$$
(a) Si dimostri che la funzione
$$f(x) := \sum_{n=0}^{+\infty}f_n(x)$$
è ben definita per $x>0$. Si calcoli inoltre il suo valore in $1$.

(b) Si studi la funzione $f(x)$ e si diano i comportamenti asintotici per $x\rightarrow0^+$ e $x\rightarrow+infty$.

(c) Si mostri che si ha l’equivalenza
$$
f(x)=e\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(−1)^n}{(x + n)n!}$$
dove $e$ è il numero di Nepero. ($e=\sum_{n=0}^{+\infty}1/{n!}$).

Ho risolto i primi due punti, mentre per il terzo sto riscontrando dei problemi.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
(a) Fissato $x>0$ si ha che $f_n(x)>0$ per ogni $n\ge0$ e ciò implica che la serie $f(x)$ è a termini positivi.

Si ha che $f_n(x)=1/x\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{x+k}\le1/x(1/{x+1})^n$. (con abuso di notazione per n=0)

Allora $f(x)= \sum_{n=0}^{+\infty}f_n(x)\le1/x\sum_{n=0}^{+\infty}(1/{x+1})^n=1/x 1/{1-1/{x+1}}={x+1}/x^2$

Dunque la funzione $f(x)$ è ben definita qualsiasi $x>0$.

Osserviamo che $f_n(1)=1/{(n+1)!}$. Allora
$$f(1)=\sum_{n=0}^{+\infty}f_n(1)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)!}=e$$
Per ricavare l'ultima equivalenza basta giocare un po' con gli indici.

(b) Immediatamente si riesce a mostrare che la funzione è strettamente decrescente nel suo dominio $(0,+\infty)$.
Per ogni $x>0$ abbiamo visto che $f(x)\le{x+1}/x^2$, e quindi facendo tendere $x\rightarrow+\infty$ si ha per il teorema del confronto che $lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0$, essendo la funzione $f(x)$ positiva.

Osserviamo che per ogni $x>0$ si ha che $f(x)\ge f_0(x)=1/x$, e quest'ultima funzione tende a $+\infty$ per $x\rightarrow0^+$, ragion per cui anche $lim_{x\rightarrow0^+}f(x)=+\infty$.


Riguardo al terzo punto non sono riuscito a far nulla praticamente, e non ho molte idee. Ho pensato un momento alla funzione $\Gamma$, vista come la generalizzazione del fattoriale e cercando un po' online (https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_Gamma "Espressioni alternative") ho trovato un'interessante analogia tra il risultato da dimostrare, ma non sono riuscito comunque ad usare questo risultato (né a dimostrarlo).
Se qualcuno avesse dei buoni consigli sono ben accetti! Buona giornata a tutti!
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Re: Esercizio 1 SISSA 2012

Messaggioda Bremen000 » 17/04/2019, 12:33

C’è un errore nel calcolo di $f(1)$: fa $e-1$ e non $e$.
Per il terzo punto usa il prodotto alla Cauchy delle serie!
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Re: Esercizio 1 SISSA 2012

Messaggioda totissimus » 17/04/2019, 14:54

Io il terzo punto l'ho risolto così:

Scompongo in fratti semplici:

$f_{n}(x)=\prod_{k=0}^{n}\frac{1}{x+k}=\frac{A_{0}}{x}$$+\frac{A_{1}}{x+1}+\ldots+\frac{A_{n}}{x+n}$

$0\leq k\leq n$

L'asterisco nella produttoria significa $k\ne j$

$(x+k)f_{n}(x)=\prod_{j=0}^{***n}\frac{1}{x+j}=\frac{A_{0}(x+k)}{x}+\frac{A_{1}(x+k)}{x+1}+\cdots+\frac{A_{1}(x+k)}{x+k-1}+A_{k}+\frac{A_{k+1}(x+k)}{x+k+1}+\cdots+\frac{A_{n}(x+k)}{x+n}$

Ponendo $x=-k$ otteniamo:

$A_{j}=\frac{1}{-k(-k+1)...(-1)(1)(2)...(n-k)}$=$\frac{(-1)^{k}}{k!(n-k)!}$

Quindi

$f_{n}(x)=\prod_{k=0}^{n}\frac{A_{k}}{x+k}=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}}{k!(n-k)!(x+k)}$

$\sum_{k=0}^{\infty}f_{k}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{k}\frac{(-1)^{n}}{n!(k-n)!(x+n)}=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=n}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!(k-n)!(x+n)}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!(x+n)}\sum_{k=n}^{\infty}\frac{1}{(k-n)!}$

$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!(x+n)}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!(x+n)}e$
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Re: Esercizio 1 SISSA 2012

Messaggioda onlynose » 17/04/2019, 15:23

Grazie! Non avevo pensato alla scomposizione in fratti semplici. Una curiosità: ma tale decomposizione mi è assicurata per un qualche teorema?
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Re: Esercizio 1 SISSA 2012

Messaggioda Bremen000 » 18/04/2019, 11:50

Io l'avevo pensata così

\[ e \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{ (-1)^n}{(x+n)n!} =\sum_{n=0}^{+\infty} c_n(x) \]

con
\begin{align*}
c_n(x) &= \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{(-1)^k}{(x+k)} = \frac{1}{n!} \frac{ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k \prod_{\substack{ j=0 \\ j \ne k}}^n (x+j)} { \prod_{k=0}^n (x+k)} \\
& = f_n(x) \frac{ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k \prod_{\substack{ j=0 \\ j \ne k}}^n (x+j)}{n!} \\
\end{align*}

Ora basta mostrare che

\[ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k \prod_{\substack{ j=0 \\ j \ne k}}^n (x+j) = n! \]

Nota che per $x=0$ è vero. Se facciamo vedere che ha derivata nulla, abbiamo vinto
\begin{align*}
\frac{d}{dx} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k \prod_{\substack{ j=0 \\ j \ne k}}^n (x+j) &= \\
& = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k \sum_{\substack{j=0 \\ j \ne k}}^n \prod_{\substack{ i=0 \\ i \ne j,k}}^n (x+i) \\
& = \frac{1}{f_n(x)} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k (x+k) \sum_{\substack{j=0 \\ j \ne k}}^n(x+j) \\
& = \frac{1}{f_n(x)} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k (x+k) \biggl ( nx + \frac{n(n+1)}{2}-k \biggr ) \\
\end{align*}
Per fare vedere che questo affare è 0 è sufficiente notare che le sommatorie
\[ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k \quad \quad \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k k \quad \quad \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k k^2 \]
sono tutte nulle.
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