Salve a tutti, ho questo esercizio: dato il sistema $f=xcosh(z)+ye^(z+y^2)=0,g=(arctan(x)+\pi/2)e^(-z-y)-y=0$, verificare che definisce implicitamente una $\phi(z)=(x(z),y(z))$ su tutto $\mathbb{R}$ unica e continua, precisando se è derivabile.
Io ho fatto così:
Fissato z reale dalla prima ottengo col teorema degli zeri una sola $x_{0}$ che la risolve indipendentemente da y, e dalla seconda una $y_{0}$ che risolve indipendentemente da x, accoppiandole ottengo una $\phi: z\rightarrow(x(z),y(z))$ in tutto R che risolve difatto il mio sistema.
Adesso questa punto per punto coincide con quella prescritta dal teorema vettoriale del Dini (le cui ipotesi sono verificate per ogni punto, cioè il jacobiano è invertibile sempre e blabla) che è unica e continua, e perciò ho concluso che la mia $\phi$ è continua (addirittura $C^\infty$) perché coincide globalmente con quella del Dini.
È corretto?