Punti interi in un disco

Messaggioda Cantor99 » 19/04/2019, 22:28

Salve ho trovato un esercizio relativamente agli integrali in più variabili abbastanza inusuale
Sia $D$ il cerchio del piano di centro l'origine e raggio $r$ e $N_{r}$ il numero di coordinate intere del cerchio, cioè
\[
D_{r}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2} : x^{2}+y^{2}\le r^{2}\} \qquad N_{r}=|\{ (p,q)\in \mathbb{Z}^{2} : (p,q)\in D_{r} \}|
\]
i) Provare che
\[
\displaystyle \lim_{r\to +\infty} \frac{N_{r}}{r^{2}}=\pi
\]
ii) Dimostrare che
\[
|N_{r}-\pi r^{2}|\le 8\big(r+\frac{1}{2}\big )
\]

Per il primo punto avrei ragionato così : per ogni $r>0$ ho $[r] \le r \le [r]+1$ sicché $N_{[r]}\le N_{r} \le N_{[r]+1}$. Non so se ho calcolato bene $N_{[r]}$ ma sembra uscirmi tutt'altro limite!

Sapreste darmi qualche hint/ consiglio?
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Re: Punti interi in un disco

Messaggioda anto_zoolander » 20/04/2019, 05:20

Da dove lo hai preso? Non mi sembra così immediato, comunque;
ho provato a tirar fuori qualcosa e mi è uscito(sostanzialmente conti l'origine, i punti sugli assi tranne l'origine e poi i punti che non stanno sugli assi)

$N_r=1+4floor(r)+4sum_(k=1)^(floor(r))floor(sqrt(r^2-k^2))$

ti lascio sotto spoiler, se ne avessi bisogno, una mia possibile soluzione

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
se fosse giusta si avrebbe

$(N_r)/r^2=1/r^2+4floor(r)/r^2+4*(sum_(k=1)^(floor(r))floor(sqrt(r^2-k^2)))/r^2$


essendo $floor(r)leqr$ si ha che il primi due termini tendono a $0$

quindi in sostanza il limite interessante è $lim_(r->+infty)(sum_(k=1)^(floor(r))floor(sqrt(r^2-k^2)))/r^2$

ora $x-1leqfloor(x)leqx$ quindi $sqrt(r^2-k^2)-1leqfloor(sqrt(r^2-k^2))leqsqrt(r^2-k^2)$

sommando su $k$ si ottiene $(sum_(k=1)^(floor(r))(sqrt(r^2-k^2)-1))/r^2leq(sum_(k=1)^(floor(r))floor(sqrt(r^2-k^2)))/r^2leq(sum_(k=1)^(floor(r))sqrt(r^2-k^2))/r^2$

staccando la somma a primo membro il termine $-sum_(k=1)^(floor(r))1/r^2=-(floor(r))/r^2->0$

da questo segue che $lim_(r->+infty)(sum_(k=1)^(floor(r))sqrt(r^2-k^2))/r^2=lim_(r->+infty)(sum_(k=1)^(floor(r))floor(sqrt(r^2-k^2)))/r^2$

chiramente questa uguaglianza ha senso se il limite di sinistra esiste, visto che in sostanza tutto dipende da quello in quanto gli altri pezzi tendono a zero e si conclude l'uguaglianza con il teorema dei carabinieri.

Ora l'idea è di mostrare che quel limite esiste, così facendo potremmo usare il teorema ponte, passare alle successioni e trovarci un integrale.

Supponiamo un attimo che quella quantità converga, a cosa ci porterebbe?
Se converge possiamo considerare la successione $r_n=n$ e per il teorema ponte sappiamo che

$lim_(r->+infty)(sum_(k=1)^(floor(r))sqrt(r^2-k^2))/r^2=lim_(n->+infty)(sum_(k=1)^(n)sqrt(n^2-k^2))/n^2$


ora $lim_(n->+infty)(sum_(k=1)^(n)sqrt(n^2-k^2))/n^2=lim_(n->+infty)1/nsum_(k=1)^(n)sqrt(1-(k/n)^2)=int_(0)^(1)sqrt(1-x^2)dx=pi/4$

quindi ha senso dire se quel limite converge o meno, ma ancora devo andare a dormire quindi non connetto più :-D
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Re: Punti interi in un disco

Messaggioda dissonance » 20/04/2019, 11:57

@anto: c'è sicuramente del vero in quanto dici, ma non mi è chiaro come ottieni la prima formula. (Inoltre mi urta un po' la dicitura "teorema ponte", vabbé, questo è un problema mio). Ovviamente è il terzo termine quello importante.

Un approccio alternativo: consideriamo, attorno ad ogni punto a coordinate intere, un quadratino di lato \(1\). Quindi, l'area di questo quadratino è pure essa uguale a 1, e il numero \(N_r\) è uguale alla somma delle aree di tutti questi quadratini. Ma tali quadratini ricoprono il cerchio, quindi
\[
\pi r^2\le N_r.\]
Se ora si fissa \(\epsilon >0\) e si considerano quadratini di lato \(1-\epsilon\), si ottiene per \(r\) sufficientemente grande una disuguaglianza nell'altro verso:
\[
\tag{DA DIMOSTRARE} N_r(1-\epsilon)^2\le \pi r^2.\]
Etc...
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Re: Punti interi in un disco

Messaggioda Cantor99 » 20/04/2019, 13:11

Grazie ad entrambi. Per ora provo a seguire la strada di @Anto_zoolander

L'ho preso da qui http://dida.sns.it/dida2/Members/abbo/analisi2/int.tex
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Re: Punti interi in un disco

Messaggioda anto_zoolander » 20/04/2019, 13:30

@peppe
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
sostanzialmente ho fatto così;

1) conto l’origine -> un punto

2) conto i punti sugli assi meno l’origine
Mi basta conoscere quanti punti contiene del semiasse positivo delle ascisse e ne ha esattamente $floor(r)$. Considerando i quattro assi si deve considere $4floor(r)$

3) restano i punti interni alla circonferenza e che non stanno sugli assi, conto quelli nel primo quadrante e li moltiplico per $4$.

Per $k=1,...,floor(r)$ considero $k^2+y^2=r^2$

Questa è l’ipotenza del triangolo che ha base $k$, altezza $y$ e ipotenusa il raggio. Da questo ricaviamo $y=sqrt(r^2-k^2)$
Questo $y$ indica quanti punti a coordinate intere ci sono sul segmento che parte dal punto $A_k=(0,k)$ e arriva al punto $B_k=(0,sqrt(r^2-k^2))$ e chiaramente conta un punto ogni volta che $B_k$ passa per un intero quindi ci interessa $y=floor(sqrt(r^2-k^2))$
Contiamo questi punti per $k=1,...,floor(r)$ poiché dobbiamo poter contare su tutti gli assi interni al primo quarto di circonferenza.

Sommando abbiamo $N_r=1+4floor(r)+sum_(k=1)^(floor(r))floor(sqrt(r^2-k^2))$

Immagine

Sul teorema ponte non so che dirti, non saprei in che modo chiamarlo :-D
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Re: Punti interi in un disco

Messaggioda gugo82 » 20/04/2019, 14:17

Beh, non sarà standard, ma è comunque classico.

Consideriamo i quadrati di lato unitario centrati nei punti a coordinate intere, i.e. gli insiemi del tipo:
\[
Q(p,q) = \{ (x,y) :\ |x - p|, |y - q| \leq 1/2 \}
\]
con $(p,q) in ZZ^2$. Chiaramente, $N(r)$ coincide col numero di quadrati $Q(p,q)$ aventi centro $(p,q) in D_r$ e, poiché i quadrati hanno area unitaria, $N(r)$ coincide anche con l’area del plurirettangolo ottenuto unendo i vari $Q(p,q)$ aventi centro in $D_r$:
\[
N(r) = \sum_{(p,q) \in D_r} \operatorname{area}\Big( Q(p,q)\Big) \;.
\]
Stimiamo $N(r)$ per eccesso e per difetto sfruttando proprio l’area.
Osserviamo che i centri dei quadrati del tipo $Q(p,q)$ che sono contenuti in $D_r$ appartengono al più ad un cerchio $D_(r_1)$ concentrico a $D_r$ di raggio $r_1 = r - sqrt(2)$; ed analogamente i centri dei quadrati del tipo $Q(p,q)$ che hanno punti in comune con $D_r$ appartengono al più ad un cerchio $D_(r_2)$ concentrico a $D_r$ e di raggio $r_2 = r + sqrt(2)$.
Conseguentemente:
\[
\begin{split}
\operatorname{area}(D_{r_1}) &\leq \sum_{Q(p,q) \subseteq D_r} \operatorname{area}\Big( Q(p,q)\Big) \\
&\leq \sum_{(p,q) \in D_r} \operatorname{area}\Big( Q(p,q)\Big) \\
&= N(r) \\
&\leq \sum_{Q(p,q) \cap D_r \neq \varnothing} \operatorname{area}\Big( Q(p,q)\Big) \\
&\leq \operatorname{area}(D_{r_2})
\end{split}
\]
da cui:
\[
\pi (r - \sqrt{2})^2 \leq N(r) \leq \pi (r + \sqrt{2})^2 \quad \Rightarrow\quad \pi \frac{(r - \sqrt{2})^2}{r^2} \leq \frac{N(r)}{r^2} \leq \pi \frac{(r + \sqrt{2})^2}{r^2}
\]
che fornisce la 1). Inoltre, dalla prima delle precedenti si trae:
\[
\pi (2 - 2\sqrt{2} r) \leq N(r) - \pi r^2 \leq \pi (2 + 2\sqrt{2} r) \quad \Rightarrow \quad 0 \leq |N(r) - \pi r^2 | \leq \pi (2 + 2\sqrt{2} r)
\]
che però è più lasca della 2).
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Punti interi in un disco

Messaggioda anto_zoolander » 20/04/2019, 14:41

@arnett
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
si è quello però più generico della continuità.

click
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Re: Punti interi in un disco

Messaggioda dissonance » 20/04/2019, 19:25

Ok Anto, adesso ho capito come hai ricavato la formula e penso che sia corretta. Mi piace perché è una idea originale tua (mentre io e Gugo stiamo proponendo l'idea solita, che si trova sui libri, perché già la sapevamo...).

Rimane comunque da dimostrare che
\[\tag{*}
\lim_{r\to \infty} \sum_{k=1}^{[r]} \frac1r\sqrt{1-\left(\frac{k}{r}\right)^2} = \int_0^1 \sqrt{1-x^2}\, dx, \]
che poi è la parte analitica della dimostrazione. Sono sicuro che (*) sia vero.
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Re: Punti interi in un disco

Messaggioda Cantor99 » 20/04/2019, 21:35

Bene, anche a me - adesso- sfugge solo quel passaggio
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Re: Punti interi in un disco

Messaggioda dissonance » 24/04/2019, 10:33

dissonance ha scritto:
Rimane comunque da dimostrare che
\[\tag{*}
\lim_{r\to \infty} \sum_{k=1}^{[r]} \frac1r\sqrt{1-\left(\frac{k}{r}\right)^2} = \int_0^1 \sqrt{1-x^2}\, dx, \]

Nessuno ci ha provato? Non dovrebbe essere difficile. Si tratta di dimostrare che
\[
\lim_{r\to \infty} \sum_{k=1}^{[r]} \left(\frac1r\sqrt{1-\left(\frac{k}{r}\right)^2} -\frac1{[r]}\sqrt{1-\left(\frac{k}{[r]}\right)^2}\right)=0.\]
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