ho provato a tirar fuori qualcosa e mi è uscito(sostanzialmente conti l'origine, i punti sugli assi tranne l'origine e poi i punti che non stanno sugli assi)
se fosse giusta si avrebbe
$(N_r)/r^2=1/r^2+4floor(r)/r^2+4*(sum_(k=1)^(floor(r))floor(sqrt(r^2-k^2)))/r^2$
essendo $floor(r)leqr$ si ha che il primi due termini tendono a $0$
quindi in sostanza il limite interessante è $lim_(r->+infty)(sum_(k=1)^(floor(r))floor(sqrt(r^2-k^2)))/r^2$
ora $x-1leqfloor(x)leqx$ quindi $sqrt(r^2-k^2)-1leqfloor(sqrt(r^2-k^2))leqsqrt(r^2-k^2)$
sommando su $k$ si ottiene $(sum_(k=1)^(floor(r))(sqrt(r^2-k^2)-1))/r^2leq(sum_(k=1)^(floor(r))floor(sqrt(r^2-k^2)))/r^2leq(sum_(k=1)^(floor(r))sqrt(r^2-k^2))/r^2$
staccando la somma a primo membro il termine $-sum_(k=1)^(floor(r))1/r^2=-(floor(r))/r^2->0$
da questo segue che $lim_(r->+infty)(sum_(k=1)^(floor(r))sqrt(r^2-k^2))/r^2=lim_(r->+infty)(sum_(k=1)^(floor(r))floor(sqrt(r^2-k^2)))/r^2$
chiramente questa uguaglianza ha senso se il limite di sinistra esiste, visto che in sostanza tutto dipende da quello in quanto gli altri pezzi tendono a zero e si conclude l'uguaglianza con il teorema dei carabinieri.
Ora l'idea è di mostrare che quel limite esiste, così facendo potremmo usare il teorema ponte, passare alle successioni e trovarci un integrale.
Supponiamo un attimo che quella quantità converga, a cosa ci porterebbe?
Se converge possiamo considerare la successione $r_n=n$ e per il teorema ponte sappiamo che
$lim_(r->+infty)(sum_(k=1)^(floor(r))sqrt(r^2-k^2))/r^2=lim_(n->+infty)(sum_(k=1)^(n)sqrt(n^2-k^2))/n^2$
ora $lim_(n->+infty)(sum_(k=1)^(n)sqrt(n^2-k^2))/n^2=lim_(n->+infty)1/nsum_(k=1)^(n)sqrt(1-(k/n)^2)=int_(0)^(1)sqrt(1-x^2)dx=pi/4$
quindi ha senso dire se quel limite converge o meno, ma ancora devo andare a dormire quindi non connetto più