Dimostrare che, dati $n$ numeri positivi
$x_1 , ... , x_n$, con $n>=2$
tali che
$x_1 * x_2 * ... * x_n = 1$
si ha
$x_1 + x_2 + ... + x_n>=n$
PASSO BASE pongo $n=2$.
$x_1 * x_2 = 1 => x_2= 1/(x_1)$
Quindi $x_1 + 1/(x_1) >= 2$ che è vera. Non so se in casi come questo si debba dimostrare anche questa relazione, cioè che un numero sommato al suo reciproco dà come risultato un numero $>=2$, a me sembra piuttosto ovvia.
PASSO INDUTTIVO
Devo dimostrare $x_1 + x_2 + ... + x_n + x_(n+1) >= n+1$
Per ipotesi $x_1 + ... + x_n >= n$, quindi posso porre $x_1 + ... + x_n = n$.
Quindi ottengo $n + x_(n+1) >= n +1 => x_(n+1) >= 1$.
Ora, $x_1 * x_2 * ... * x_n * x_(n+1) = 1$ mi implica che $x_2=1/x_1$; $x_3 = x_1$ ecc.
Quindi $x_(n+1) >=1$ posso vederla come $1/x_1 >=1$ oppure come $x_1 >= 1$.
Queste disuguaglianze però non sono vere per ogni numero positivo; per esempio $1/x_1 >= 1$ è falsa se $x_1 = 2$.
Cosa sbaglio?
EDITO IL MESSAGGIO. In effetti potrei osservare che $x_1 * x_2 * ... * x_n * x_(x+1) = 1$ se e solo se $x_1= ...= x_n = x_(n+1) = 1$ e così credo otterrei una dimostrazione soddisfacente.