Derivate di matrici

Messaggioda Simo9392 » 01/04/2019, 13:57

Buongiorno,
ho visto questa discussione e anche se è conclusa da diversi anni ho ritenuto avesse senso ricollegarmi alla domanda.
Ho letto il documento matrixdifferentation che dimostra tutte le relazioni relative alla derivazione delle forme quadratiche e ho compreso i passaggi.
Il dubbio che mi resta sicuramente dal vostro punto di vista banale è: posso presa la generica forma quadratica x’Ax utilizzare un metodo di derivazione classico senza dover riscrivere le sommatorie e derivare su quelle come nelle dimostrazioni?
Quando derivo rispetto ad x considerando la regola della derivata di un prodotto mi risulta: Ax+x’A anziché x’A’+x’A.

Grazie in anticipo per il vostro aiuto.
La prossima volta vedrò di utilizzare una scrittura delle formule più adeguata.

Buonagiornata
Simo9392
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Re: Derivate di matrici

Messaggioda gugo82 » 22/04/2019, 23:29

Up, scusandomi per la permanenza del post in coda di moderazione.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Derivate di matrici

Messaggioda dissonance » 23/04/2019, 09:24

Simo9392 ha scritto:Il dubbio che mi resta sicuramente dal vostro punto di vista banale è: posso presa la generica forma quadratica x’Ax utilizzare un metodo di derivazione classico senza dover riscrivere le sommatorie e derivare su quelle come nelle dimostrazioni?

Ci saranno sicuramente delle regole di calcolo per fare queste cose. Ma poi le devi capire e te le devi ricordare. Invece, sapere fare i conti con coordinate e sommatorie richiede solo le regole di calcolo base (regola della catena, derivata del prodotto). Mi ricordo le parole di J.L. Vázquez, del quale frequentai un corso anni fa: "sapere fare i conti in coordinate ti libera dalla necessità di sapere tanta teoria". Aveva ragione.

Quando derivo rispetto ad x considerando la regola della derivata di un prodotto mi risulta: Ax+x’A anziché x’A’+x’A.

Questo è sicuramente sbagliato. Se \(A\) è una matrice \(n\times n\) e \(x\) un vettore colonna, allora \(Ax \) è un vettore colonna e \(x'A\) un vettore riga, non ha senso sommarli.
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Messaggioda j18eos » 23/04/2019, 10:25

dissonance ha scritto:[...] Mi ricordo le parole di J. L. Vázquez, del quale frequentai un corso anni fa: "sapere fare i conti in coordinate ti libera dalla necessità di sapere tanta teoria". Aveva ragione[...]
Io dico di più: se non faccio i conti in coordinate mi sparo! :roll: Sicuramente perdo tempo, ma almeno capisco quello che faccio, e mi sento più sicuro.

Senza entrare nei dettagli, ed affermando che quanto segue non è formalmente corretto, ma serve solo per dare l'idea: in geometria algebrica mi riconduco sempre "alle coordinate locali" per fare i ragionamenti...

Infine, cito la mia relatrice di tesi triennale, Clorinda De Vivo (R.I.P.):
Per quanto possano essere brutti i conti, bisogna saperli fare.
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Re: Derivate di matrici

Messaggioda dissonance » 23/04/2019, 10:52

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Ciao Armando, era da parecchio che non ci incrociavamo, in passato abbiamo avuto dei contrasti ma vedo che stavolta siamo in completa sintonia. Mi fa piacere.
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Parlando di contrasti ;)

Messaggioda j18eos » 24/04/2019, 08:59

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Che io ricordi, l'ultimo contrasto tra di noi fu nella Primavera del 2013 :lol: e me n'ero pure dimenticato, dato che ho avuto contrasti ben più pesanti quell'anno! :-D Nel 2014 sono stato troppo impegnato per litigare sui contrasti; e nel 2015, piuttosto che mandare qualcuno in ospedale (con la "q" minuscola), ho ricambiato il "non ti conosco" col "neanch'io la conosco" e non ci si contrasta più.

Anche se dopo di ciò, voci di corridoio mai confermate nemmeno dalla scienza, per colpa mia (sono serissimo) dicono che: qualcuno ha avuto una crisi di pianto isterico; qualcun altro ha avuto le coliche renali; un altro ancòra è stato placcato da altri mentre tentava di aggredirmi, perché io stavo parlando con un amico e gli davo le spalle (non l'avevo nemmeno visto)... però io non ho visto nulla.

Se questi sono gli effetti dell'avere sempre ragione, voglio avere sempre torto. :)

Ho scritto tutto ciò, per dire ho un metro (ovviamente sballato) anche per i contrasti: dato che i nostri non me li ricordo nemmeno: #staisereno! :smt005
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Re: Derivate di matrici

Messaggioda Simo9392 » 24/04/2019, 15:03

Il dubbio mi è sorto appunto perché i due membri risultanti dalla derivazione sono dimensionalmente incompatibili.
In effetti applicare la definizione risulta intuitivo e non vincolato al ricordarsi metodi mnemonici.

Grazie per le gentili risposte dissonance e j18eos
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Messaggioda j18eos » 25/04/2019, 09:31

Qui la gentilezza e la buona educazione sono di casa! ;)

Buono studio. :)
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Re: Derivate di matrici

Messaggioda dissonance » 25/04/2019, 10:24

Questo, per esempio, io lo calcolerei così; poniamo \(f(x)=x^TAx\), ovvero
\[
f(x)=\sum_{ij} x_ix_j a_{ij}.\]
Qui il primo indice di \(a_{ij}\) è quello di riga, il secondo è quello di colonna. Usando il fatto ovvio che \(\partial_{x_h} x_i=\delta_{hi}, \)
\[
\frac{\partial f}{\partial x_h} = \sum_{ij} \left( \delta_{ih}x_j a_{ij} + \delta_{jh} x_i a_{ij}\right).\]
E adesso eliminiamo i delta di Kronecker, sommando su \(i\) nel primo addendo e su \(j\) nel secondo;
\[
\frac{\partial f}{\partial x_h} = \sum_{j} x_j a_{hj} + \sum_i x_i a_{ih}.\]
E qua finiscono i calcoli. Ora si passa all'interpretazione; il prodotto matrice per vettore colonna verifica
\[
(Ax)_h= \sum_j a_{hj} x_j, \]
il prodotto vettore riga per matrice verifica
\[
(x^TA)_h = \sum_i x_i a_{ih};\]
perciò, ovviamente, possiamo riscrivere il risultato della nostra derivata come
\[
(\nabla f)_h = (Ax)_h+(x^TA)_h.\]
E qua è dove ti sei confuso. Infatti, viene la tentazione di togliere quei pedici \(h\) e scrivere \(\nabla f = Ax+x^TA,\) solo che dimensionalmente non torna, perché il primo addendo è una colonna e il secondo una riga. Bisogna decidere come interpretare il gradiente; di solito si interpreta come un vettore colonna, perciò la scrittura corretta è
\[
\nabla f = Ax +(x^TA)^T , \]
che è uguale a \(2Ax\) se \(A\) è simmetrica.
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Re: Derivate di matrici

Messaggioda gugo82 » 25/04/2019, 17:09

@j18eos:
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Azz… :lol:


@dissonance:
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