[EX] - Una versione matriciale del lemma di Scheffé

[obnoxious]

Il lemma di Scheffé è un risultato classico e facile. La versione per operatori è altrettanto interessante.

Problema. Sia \( \{ \psi_n\}_{n \ge 1} \) una base ortonormale di \( L^2 (\mathbb{R};\mathbb{C}) \). Consideriamo \( \rho : L^2 (\mathbb{R};\mathbb{C} ) \to L^2 (\mathbb{R};\mathbb{C} ) \) lineare, limitato, autoaggiunto, con \[ \text{tr}(\rho)=\sum_{n=1}^\infty \langle \rho (\psi_n), \psi_n \rangle = 1 \]e \( \rho \ge 0\) ( - quest'ipotesi potrebbe essere superflua, ma lasciamola qui). Sia ora una successione di operatori \( \rho_n : L^2 (\mathbb{R};\mathbb{C} ) \to L^2 (\mathbb{R};\mathbb{C} ) \) lineari, limitati, autoaggiunti, con \( \text{tr} (\rho_n ) =1 \) e \( \rho_n \ge 0 \) (same here); supponiamo che \[ \rho_n ^{(j,k)} = \langle \rho_n (\psi_j),\psi_k \rangle \to \rho ^{(j,k)} = \langle \rho (\psi_j),\psi_k \rangle \quad \forall \,j,k \]quando \( n \to \infty\). Mostrare che \[ \lim_{n \to \infty} \| \rho_n - \rho \|_1 = \lim_{n \to \infty} \text{tr}|\rho_n - \rho|=0 .\]

Edit. Aggiunta un'ipotesi (e' un'esercizio che ho dedotto da un paper che stavo leggendo, non sono sicuro che il set delle ipotesi sia minimale).

[Bremen000]

Ciao, cosa si intende per norma 1 di un operatore?

[obnoxious]

Ciao, cosa si intende per norma 1 di un operatore?

https://en.wikipedia.org/wiki/Trace_class

[obnoxious]

Un hint sta incidentalmente nel link precedente, "trace class as the dual of compact operators".

[Bremen000]

Quello che avevo pensato di fare era di fissare una b.o.n. \( \{e_i\}_{i \in \mathbb{N}} \) di $L^2(\mathbb{R}; \mathbb{C}) $ fatta da autovettori di $\rho$ e poi di considerare i proiettori $P_k$ su \( \text{span} \{ e_1, \dots, e_k \} \). In questa maniera ho che
\begin{align*}
\| \rho - P_k \rho P_k \|_1 \to 0 \quad \quad &\text{ quando } k \to + \infty \\
\| P_k \rho P_k - P_k \rho_n P_k \|_1 \to 0 \quad \quad &\text{ quando } n \to + \infty \\
\end{align*}
E quindi posso scrivere
\[ \|\rho-\rho_n \|_1 = \| \rho - P_k \rho P_k \|_1 + \| P_k \rho P_k - P_k \rho_n P_k \|_1 + \|\rho_n - P_k \rho_n P_k \|_1 \]
ma non so controllare l'ultimo pezzo...

[Bremen000]

Un hint sta incidentalmente nel link precedente, "trace class as the dual of compact operators".

Mah confesso che probabilmente non sono al 100% in questo momento con analisi funzionale, perché anche con questo hint rimango a bocca asciutta. Quello che riesco a dimostrare è che per ogni $B$ compatto ho subito
\[ \lim_{n \to + \infty} \text{tr} (\rho_n B) = \text{tr}B \]
cioè ho la convergenza debole-$\ast$ (o puntuale) di \( \{\rho_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) a $\rho$, visti come elementi del duale dei compatti. Ho anche la convergenza in norma \( \| \cdot \|_1 \) ma...

[obnoxious]

Avevo in mente questo: la relazione di dualità ed il teorema di Hahn-Banach ci dicono che la norma \(1\) di \(\rho\) sì può scrivere come sup della norma di \(C\rho\), dove \(C\) è un operatore compatto di norma operatoriale \(\le 1\). Ma lo spazio di Hilbert è separabile, quindi gli operatori compatti si possono approssimare con operatori di rango finito... se hai voglia, vedi se funziona

[otta96]

Ma lo spazio di Hilbert è separabile, quindi gli operatori compatti si possono approssimare con operatori di rango finito

Non ho seguito tutto il post ma volevo solo dire che in questa cosa non serve assumere che lo spazio di Hilbert sia separabile.